Exercício 1. Para cada um dos subconjuntos S \subseteq V, onde ( V,+, \cdot ) é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, S.
S \doteq\left\{p_{o}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\} e V \doteq \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, onde
p_{o}(t) \doteq 1, \quad p_{1}(t) \doteq t, \quad p_{2}(t) \doteq t^{2} \quad \text { e } \quad p_{3}(t) \doteq 1+t^{3}, \text { para } t \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado por
S = \{p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\} \subset V = \mathscr P_{3}(\mathbb R),
onde
p_{0}(t)=1,\quad p_{1}(t)=t,\quad p_{2}(t)=t^{2},\quad p_{3}(t)=1+t^{3}.
O conteúdo envolve combinações lineares e a definição de subespaço gerado (span).

Passo 2

Escrevemos uma combinação linear genérica de elementos de S:
\alpha\,p_{0}(t)+\beta\,p_{1}(t)+\gamma\,p_{2}(t)+\delta\,p_{3}(t).
Substituindo cada p_{i}:
\alpha\cdot1+\beta\cdot t+\gamma\cdot t^{2}+\delta\,(1+t^{3}) =(\alpha+\delta)+\beta\,t+\gamma\,t^{2}+\delta\,t^{3}.

Passo 3

Note que todo polinômio genérico de grau <=3 em \mathscr P_{3}(\mathbb R) é
q(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}.
Basta escolher
\delta = a_{3},\quad \gamma = a_{2},\quad \beta = a_{1},\quad \alpha = a_{0}-a_{3}
para que
(\alpha+\delta)+\beta\,t+\gamma\,t^{2}+\delta\,t^{3} = a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}.
Isso mostra que qualquer polinômio de grau <=3 está em [S].

Passo 4

Como todo elemento de \mathscr P_{3}(\mathbb R) é obtido por combinação de p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}, concluímos que
[S] = \mathscr P_{3}(\mathbb R).

Resposta

\displaystyle [S] = \mathscr P_{3}(\mathbb R).

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