Questão 4. Um banco tem três caixas. Ao final do expediente, todo o dinheiro dos três caixas é misturado em um cofre para depois ser inspecionado. A quantidade de notas vindas de cada caixa pode ser considerada aproximadamente a mesma. Verificou-se que
das notas vindas do Caixa A não são falsas; do Caixa B
, e do Caixa C_98%. Uma nota falsa foi encontrada no cofre. Calcule a probabilidade de a nota ter vindo do Caixa B.
Passo 1
O enunciado diz que há três caixas
,
e
, cada uma com probabilidade igual de fornecer uma nota ao cofre, e que as probabilidades de a nota ser verdadeira são:
,
,
.
Como queremos a probabilidade de a nota falsa ter vindo de , vamos usar o teorema de Bayes com eventos:
“nota veio da caixa
” e
“nota é falsa”.
Como queremos a probabilidade de a nota falsa ter vindo de
Passo 2
Definimos as probabilidades envolvidas:
Priori de cada caixa:
.
Verossimilhanças de falso:
,
,
.
Priori de cada caixa:
Verossimilhanças de falso:
Passo 3
Calculamos a probabilidade total de tirar uma nota falsa do cofre usando a lei da probabilidade total:
Passo 4
Aplicamos o teorema de Bayes para obter
:
Resposta
A probabilidade de a nota falsa ter vindo da caixa
é aproximadamente
(ou
).