Questão 4. Um banco tem três caixas. Ao final do expediente, todo o dinheiro dos três caixas é misturado em um cofre para depois ser inspecionado. A quantidade de notas vindas de cada caixa pode ser considerada aproximadamente a mesma. Verificou-se que 90 \% das notas vindas do Caixa A não são falsas; do Caixa B 95 \%, e do Caixa C_98%. Uma nota falsa foi encontrada no cofre. Calcule a probabilidade de a nota ter vindo do Caixa B.

Passo 1

O enunciado diz que há três caixas A, B e C, cada uma com probabilidade igual de fornecer uma nota ao cofre, e que as probabilidades de a nota ser verdadeira são:
\Pr(\text{nota verdadeira}\mid A)=0,90,
\Pr(\text{nota verdadeira}\mid B)=0,95,
\Pr(\text{nota verdadeira}\mid C)=0,98.
Como queremos a probabilidade de a nota falsa ter vindo de B, vamos usar o teorema de Bayes com eventos:
B = “nota veio da caixa B” e
F = “nota é falsa”.

Passo 2

Definimos as probabilidades envolvidas:
Priori de cada caixa:
\Pr(A)=\Pr(B)=\Pr\text{(C)}=\tfrac{1}{3}.
Verossimilhanças de falso:
\Pr(F\mid A)=1-0,90=0,10,
\Pr(F\mid B)=1-0,95=0,05,
\Pr(F\mid C)=1-0,98=0,02.

Passo 3

Calculamos a probabilidade total de tirar uma nota falsa do cofre usando a lei da probabilidade total:
\Pr(F) =\Pr(A)\Pr(F\mid A)+\Pr(B)\Pr(F\mid B)+\Pr\text{(C)}\Pr(F\mid C) =\tfrac{1}{3}\times0,10+\tfrac{1}{3}\times0,05+\tfrac{1}{3}\times0,02 =\frac{0,17}{3} \approx0,0567.

Passo 4

Aplicamos o teorema de Bayes para obter \Pr(B\mid F):
\Pr(B\mid F) =\frac{\Pr(B)\,\Pr(F\mid B)}{\Pr(F)} =\frac{\tfrac{1}{3}\times0,05}{0,0567} =\frac{0,05}{0,17} \approx0,2941.

Resposta

A probabilidade de a nota falsa ter vindo da caixa B é aproximadamente 0,2941 (ou 29{,}41\%).

Exercícios relacionados