Exercício 5.4 Calcular as Integrais:
\int_{0}^{a} \int_{x / a}^{x} \frac{x d y d x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\int_{x=0}^{a}\int_{y=x/a}^{y=x}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx,
onde a>0. O conteúdo principal aqui é trocar a ordem de integração ou, mais diretamente, avaliar primeiro a integral interna em y. Para isso, vamos usar a primitiva
\int\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dy=\frac{1}{x}\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
válida para x\neq0.

Passo 2

Vamos escrever
I=\int_{0}^{a}x\left[\int_{x/a}^{\,x}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dy\right]dx
e aplicar a primitiva em y. Como
\int_{x/a}^{x}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dy =\frac{1}{x}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\Bigr]_{y=x/a}^{y=x},
então

Passo 3

substituindo nos limites obtenho
\int_{x/a}^{x}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dy =\frac{1}{x}\Bigl(\arctan(1)-\arctan(\tfrac{1}{a})\Bigr) =\frac{1}{x}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\arctan(\tfrac{1}{a})\Bigr).

Passo 4

Voltando a I, multiplicamos pelo fator externo x, que anula o 1/x:
I=\int_{0}^{a}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\arctan(\tfrac{1}{a})\Bigr)\,dx.
Como a expressão dentro dos parênteses é constante em x, sai da integral:
I=\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\arctan(\tfrac{1}{a})\Bigr)\int_{0}^{a}dx =a\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\arctan(\tfrac{1}{a})\Bigr).

Passo 5

Para deixar mais simpático, usamos a identidade
\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{a}\bigr) =\frac{\pi}{2}-\arctan(a),
o que dá
I =a\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan(a)\bigr)\Bigr) =a\bigl(\arctan(a)-\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Resposta

\boxed{I =a\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\arctan(\tfrac{1}{a})\Bigr) \;=\; a\bigl(\arctan(a)-\tfrac{\pi}{4}\bigr).}

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