Exercício 5.5 Calcule o valor das seguintes integrais:
\int_{-1}^{0} \int_{y}^{-y^{2}} \sqrt{x y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{0}\!\int_{y}^{-y^{2}}\sqrt{x\,y}\,dx\,dy.
O conteúdo envolvido é integração iterada em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos:
  1. Descrever a região de integração e cuidar dos sinais de x e y.
  2. Fazer a mudança de variável y=-t para trabalhar com t\in[0,1].
  3. Calcular a integral interna em x.
  4. Integrar o resultado em t.

Passo 2

Fazendo a troca
y=-t,
temos t\in[0,1] e dy=-dt. Quando y=-1 vem t=1, e quando y=0 vem t=0. Além disso, para y=-t a integral vira
\int_{y=-1}^{0}\!\int_{x=y}^{-y^{2}}\sqrt{x\,y}\,dx\,dy =\int_{t=1}^{0}\!\int_{x=-t}^{-t^{2}}\sqrt{x\,(-t)}\,dx\,(-dt).
Invertemos os limites em t (tirando o sinal “ -”) para ficar
\int_{t=0}^{1}\!\int_{x=-t}^{-t^{2}}\sqrt{-t\,x}\,dx\,dt.

Passo 3

Note que \sqrt{-t\,x}=\sqrt{t}\,\sqrt{-x}, pois t\ge0 e x\le0. Assim a integral iterada é
\int_{0}^{1}\!\int_{-t}^{-t^{2}}\sqrt{t}\,\sqrt{-x}\,dx\,dt =\int_{0}^{1}\sqrt{t}\Bigl(\int_{x=-t}^{-t^{2}}\sqrt{-x}\,dx\Bigr)dt.

Passo 4

Para a integral em x faça u=-x, então dx=-du. Quando x=-t vem u=t, e quando x=-t^{2} vem u=t^{2}. Logo
\int_{x=-t}^{-t^{2}}\sqrt{-x}\,dx =\int_{u=t}^{t^{2}}\sqrt{u}\,(-du) =\int_{u=t^{2}}^{t}\!u^{1/2}\,du =\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{t^{2}}^{t} =\tfrac{2}{3}\bigl(t^{3/2}-(t^{2})^{3/2}\bigr) =\tfrac{2}{3}\bigl(t^{3/2}-t^{3}\bigr).
Multiplicando por \sqrt{t}=t^{1/2} fica
\sqrt{t}\,\int_{-t}^{-t^{2}}\sqrt{-x}\,dx =\tfrac{2}{3}\bigl(t^{1/2}\,t^{3/2}-t^{1/2}\,t^{3}\bigr) =\tfrac{2}{3}\bigl(t^{2}-t^{7/2}\bigr).

Passo 5

Agora integramos em t:
\int_{0}^{1}\tfrac{2}{3}\bigl(t^{2}-t^{7/2}\bigr)dt =\tfrac{2}{3}\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-\tfrac{t^{9/2}}{\tfrac{9}{2}}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{2}{3}\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{9}\Bigr) =\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{9} =\tfrac{2}{27}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{27}

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