Exercício 5.5 Calcule o valor das seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo envolvido é integração iterada em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos:
- Descrever a região de integração e cuidar dos sinais de
e . - Fazer a mudança de variável
para trabalhar com . - Calcular a integral interna em
. - Integrar o resultado em
.
Passo 2
Fazendo a troca
temos
e
. Quando
vem
, e quando
vem
. Além disso, para
a integral vira
Invertemos os limites em
(tirando o sinal “
”) para ficar
Passo 3
Note que
, pois
e
. Assim a integral iterada é
Passo 4
Para a integral em
faça
, então
. Quando
vem
, e quando
vem
. Logo
Multiplicando por
fica
Passo 5
Agora integramos em
: