Exercício 5.4 Calcular as Integrais:
\int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \frac{d x d y}{(x+y)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\int_{y=3}^{4}\int_{x=1}^{2}\frac{1}{(x+y)^{2}}\,dx\,dy.
O conteúdo é integração iterada: primeiro vamos integrar em x tratando y como constante (usando a antiderivada de (x+y)^{-2}), e depois em y (usando logaritmos).

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
A antiderivada de \frac{1}{(x+y)^{2}} em relação a x é
-\,\frac{1}{x+y}.
Logo,
\int_{x=1}^{2}\frac{1}{(x+y)^{2}}\,dx =\Bigl[-\frac{1}{x+y}\Bigr]_{x=1}^{x=2} =-\frac{1}{2+y}+\frac{1}{1+y} =\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}.

Passo 3

Agora integramos em y de 3 a 4:
\int_{3}^{4}\Bigl(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}\Bigr)\,dy =\int_{3}^{4}\frac{1}{y+1}\,dy -\int_{3}^{4}\frac{1}{y+2}\,dy.
As antiderivadas são \ln(y+1) e \ln(y+2), então
\Bigl[\ln(y+1)-\ln(y+2)\Bigr]_{3}^{4} =(\ln5-\ln6)-(\ln4-\ln5).

Passo 4

Simplificando:
(\ln5-\ln6)-(\ln4-\ln5) =2\ln5-\ln6-\ln4 =\ln\!\bigl(5^{2}\bigr)-\ln(24) =\ln\Bigl(\frac{25}{24}\Bigr).

Resposta

\ln\!\Bigl(\frac{25}{24}\Bigr).

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