Exercício 5.3 Considere a funçāo f:[0,4] \times[2,4] \rightarrow \mathbb{R}. Calcular \int_{2}^{4} \int_{0}^{4} f(x, y) dxdy pelo método da soma de Riemann, nos seguintes casos:
f(x, y)=x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=x+2y
sobre o retângulo
D = [0,4]\times[2,4].
O conteúdo é integração dupla via soma de Riemann, e vamos usar o Teorema de Fubini para passar ao cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

Definimos uma partição uniforme de D em n subintervalos em x e m em y, com
\Delta x = \frac{4-0}{n} = \frac{4}{n}, \qquad \Delta y = \frac{4-2}{m} = \frac{2}{m}.
Escolhendo pontos (x_i^*,y_j^*) em cada subretângulo, a soma de Riemann é
S_{n,m} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} f(x_i^*,y_j^*)\,\Delta x\,\Delta y.
Como f é contínua em D, tem-se
\lim_{n,m\to\infty} S_{n,m} = \iint_{D}f(x,y)\,dA = \int_{y=2}^{4}\int_{x=0}^{4} \bigl(x+2y\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos a integral dupla como iterada:
\iint_{D}f(x,y)\,dA = \int_{y=2}^{4}\Bigl[\int_{x=0}^{4}\bigl(x+2y\bigr)\,dx\Bigr]\,dy.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x:
\int_{0}^{4}\bigl(x+2y\bigr)\,dx = \int_{0}^{4}x\,dx \;+\; 2y\int_{0}^{4}1\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{4} \;+\; 2y\,(4) = 8 \;+\; 8y.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{2}^{4}\bigl(8+8y\bigr)\,dy = \int_{2}^{4}8\,dy \;+\; 8\int_{2}^{4}y\,dy = \Bigl[8y\Bigr]_{2}^{4} \;+\; 8\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{2}^{4} = (32-16) \;+\; 4\,(16-4) = 16 + 48 = 64.

Resposta

O valor da integral é 64.

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