Exercício 1. Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, onde:
f(x, y)=6 x^2 y^3-5 y^4 ; R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 3,0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR f(x,y),dx,dy
sendo
f(x,y)=6x^2y^3-5y^4, R=(x,y)mid 0<= x<=3,;0<= y<=1
O conteúdo envolvido é integral dupla em um retângulo e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integral iterada.

Passo 2

Como R é um retângulo no plano, pelo Teorema de Fubini podemos escrever a integral dupla como iterada. Assim, temos
integral duplaRf(x,y),dx,dy=integraly=0^1l(integralx=0^3(6x^2y^3-5y^4),dxr)dy

Passo 3

Agora fazemos a integral interna em relação a x. Observe que y é constante nesse passo, então
integralx=0^3(6x^2y^3-5y^4),dx =6y^3integral0^3x^2,dx-5y^4integral0^31,dx
Como integral0^3x^2,dx=l[x^3/3r]0^3=27/3=9 e integral0^31,dx=3, resulta em
6y^3cdot9-5y^4cdot3=54y^3-15y^4

Passo 4

Falta agora integrar em y de 0 a 1:
integral0^1(54y^3-15y^4),dy =54integral0^1y^3,dy-15integral0^1y^4,dy
Como integral0^1y^3,dy=1/4 e integral0^1y^4,dy=1/5, obtemos
54cdottfrac14-15cdottfrac15=tfrac544-3=tfrac272-3=tfrac212

Resposta

tfrac212

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