Exercício 1. Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, onde:
f(x, y)=x y^2x^2+1 ; R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1,-3 <= y <= 3

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaRf(x,y),dx,dy,
onde
f(x,y)=x,y^2x^2+1, R=(x,y)mid 0<= x<= 1,,-3<= y<= 3
O conteúdo é integral dupla sobre retângulo e vamos usar o Teorema de Fubini para separar as integrais.

Passo 2

Pela Fubini, escrevemos
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integralx=0^1!gl(integraly=-3^3x,y^2x^2+1,dygr)dx
Dentro da integral em y, x/(x^2+1) é constante, logo
integraly=-3^3x,y^2x^2+1,dy =xx^2+1integral-3^3y^2,dy

Passo 3

Calculamos a integral em y:
integral-3^3y^2,dy =2integral0^3y^2,dy =2l[y^33r]0^3 =2cdot273 =18
Assim
integral duplaRf(x,y),dx,dy =18integral0^1xx^2+1,dx

Passo 4

Para calcular
integral0^1xx^2+1,dx, use a substituição
u=x^2+1, du=2x,dx
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Então
integral0^1xx^2+1,dx =12integralu=1^2duu =12l[ln ur]1^2 =12ln 2
Logo
18integral0^1xx^2+1,dx =18cdot12ln2 =9ln2

Resposta

9ln2

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