Exercício 3. Calcule
\int_{C}\left(\sin \left(x^{2}\right)-y^{2}\right) d x+\left(x y+y^{3}\right) d y
com C sendo a curva dada por x^{2}-2 x+y^{2}-2 y=7 com x \leq 1 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{C}\bigl(\sin(x^{2})-y^{2}\bigr)\,dx+\bigl(xy+y^{3}\bigr)\,dy
onde C é o semicírculo esquerdo da curva
x^{2}-2x+y^{2}-2y=7
isto é, o semicírculo de raio 3 centrado em (1,1) com x\le1, percorrido no sentido anti-horário.
O plano de ataque será usar o Teorema de Green fechando C com o segmento de reta L que liga o ponto inferior ao superior de C.

Passo 2

Denotemos
P(x,y)=\sin(x^{2})-y^{2}, \quad Q(x,y)=x\,y+y^{3}.
Verificamos que
\frac{\partial Q}{\partial x}=y, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=-2y,
logo \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=3y.

Passo 3

Fechamos o semicírculo C pelo segmento L\colon x=1,\;y de -2 a 4. Pelas orientações,
\int_{C}P\,dx+Q\,dy \;+\;\int_{L}P\,dx+Q\,dy \;=\; \iint_{R}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA \;=\; \iint_{R}3y\,dA,
onde R é o meio disco de raio 3 centrado em (1,1) com x\le1.

Passo 4

Para calcular \iint_{R}3y\,dA fazemos a mudança u=x-1, v=y-1, de modo que R vira o semidisco u^{2}+v^{2}\le9, u\le0 e y=v+1. Então
\iint_{R}3y\,dA =3\iint_{R}(v+1)\,du\,dv =3\Bigl(\underbrace{\iint_{R}v\,du\,dv}_{0}+\iint_{R}1\,du\,dv\Bigr) =3\cdot\frac{9\pi}{2} =\frac{27\pi}{2}.

Passo 5

Agora parametrize L por x=1, y=t, t\in[-2,4]. Então dx=0, dy=dt e
P\,dx+Q\,dy =(0)+\bigl(t+t^{3}\bigr)\,dt.
Logo
\int_{L}P\,dx+Q\,dy =\int_{t=-2}^{4}(t+t^{3})\,dt =\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}+\tfrac{t^{4}}{4}\Bigr]_{-2}^{4} =72-6 =66.

Passo 6

Voltando ao Teorema de Green:
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}3y\,dA -\int_{L}P\,dx+Q\,dy =\frac{27\pi}{2}-66.

Resposta

\frac{27\pi}{2}-66.

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