Exercício 3. Calcule
com
sendo a curva dada por
com
percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
é o semicírculo esquerdo da curva
isto é, o semicírculo de raio
centrado em
com
, percorrido no sentido anti-horário.
O plano de ataque será usar o Teorema de Green fechando com o segmento de reta
que liga o ponto inferior ao superior de
.
O plano de ataque será usar o Teorema de Green fechando
Passo 2
Denotemos
Verificamos que
logo
.
Passo 3
Fechamos o semicírculo
pelo segmento
de
a
. Pelas orientações,
onde
é o meio disco de raio
centrado em
com
.
Passo 4
Para calcular
fazemos a mudança
,
, de modo que
vira o semidisco
,
e
. Então
Passo 5
Agora parametrize
por
,
,
. Então
,
e
Logo
Passo 6
Voltando ao Teorema de Green: