Exercício 3: Calcular a resistência de um condutor de cobre a 15^{\circ} \mathrm{C}, com seção transversal de 3 \mathrm{~mm}^{2} e comprimento de 200 m . Dados: \rho_{\text {cobre }}=0,0178 \frac{\Omega \times m m^{2}}{m}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a resistência de um condutor de cobre a 15^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos no enunciado (vou listá-los exatamente como foram dados):
\;T=15^\circ\mathrm{C} (temperatura do condutor),
\;A=3\\ \mathrm{mm}^2 (seção transversal),
\;L=200\\ \mathrm{m} (comprimento),
\;\rho_{\text{cobre}}=0,0178\\ \dfrac{\Omega\cdot\mathrm{mm}^2}{\mathrm{m}} (resistividade do cobre, valor fornecido).
Nada mais foi pedido além da resistência do condutor.

Passo 2

Fórmula básica que liga resistência, resistividade, comprimento e área:
R=\rho\,\frac{L}{A}.
Explicando cada símbolo (calma, vou mastigar tudo):
  • R é a resistência elétrica que queremos (unidade: \Omega);
  • \rho é a resistividade do material (unidade dada: \dfrac{\Omega\cdot\mathrm{mm}^2}{\mathrm{m}});
  • L é o comprimento do condutor (unidade: \mathrm{m});
  • A é a área da seção transversal (unidade: \mathrm{mm}^2).
Por que essa fórmula faz sentido? Resistividade é uma propriedade do material que diz quanta “dificuldade” o material dá à passagem de corrente por unidade de comprimento e por unidade de área; multiplicando por L/A ajustamos essa dificuldade ao comprimento real e à área real do fio.
Verificação de unidades (muito importante para não se confundir na prova):
\left(\dfrac{\Omega\cdot\mathrm{mm}^2}{\mathrm{m}}\right)\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{mm}^2}=\Omega,
ou seja, as unidades se cancelam direitinho e o resultado fica em \Omega.
Observação sobre temperatura: a resistividade depende da temperatura. Se o valor de \rho dado já for o correspondente a 15^\circ\mathrm{C}, podemos aplicar a fórmula direta. Se o valor de \rho fosse informado a uma temperatura diferente, precisaríamos corrigir usando o coeficiente de temperatura do cobre. Como o enunciado deu um \rho numérico sem especificar outra temperatura, vou usar esse \rho diretamente (o método é o mais direto e básico — se precisarmos ajustar temperatura, eu mostro como depois).

Passo 3

Substituindo os números na fórmula:
R=0,0178\cdot\frac{200}{3}.
Calculemos passo a passo (sem calculadora, como pediste): primeiro 200/3 é 66,666\ldots. Outra forma prática é multiplicar 0,0178 por 200 e depois dividir por 3:
0,0178\times 200 = 3,56.
Agora dividimos por 3:
R=\frac{3,56}{3}=1,186666\ldots\\ \Omega.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos (dois casas decimais é comum em exercícios desse tipo):
R\approx 1,19\\ \Omega.

Passo 4

Para quem ficou na dúvida sobre temperatura (vai que o professor pergunta esse detalhe): se o valor de \rho fornecido fosse, por exemplo, a resistividade a 20^\circ\mathrm{C} e tivéssemos que obter a resistividade a 15^\circ\mathrm{C}, usaríamos a correção linear aproximada
\rho(T)=\rho(T_0)\big[1+\alpha\,(T-T_0)\big],
onde \alpha é o coeficiente de temperatura do material. Para o cobre costuma-se usar \alpha\approx 0,0039\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. Exemplo rápido (só para saber como faria na prova se pedissem ajuste de temperatura): com T_0=20^\circ\mathrm{C} e T=15^\circ\mathrm{C} temos T-T_0=-5^\circ\mathrm{C}, então o fator é 1-0,0039\cdot5=0,9805. Assim
\rho(15^\circ\mathrm{C})=0,0178\cdot 0,9805\approx 0,017447\\ \dfrac{\Omega\cdot\mathrm{mm}^2}{\mathrm{m}},
e então
R=\rho(15^\circ\mathrm{C})\frac{L}{A}\approx 0,017447\cdot\frac{200}{3}\approx 1,163\\ \Omega.
Ou seja, a correção por temperatura muda o resultado um pouco (de \approx 1,1867\\ \Omega para \approx 1,163\\ \Omega). Mas tudo depende de qual temperatura o valor inicial de \rho representa. Como o enunciado já deu \rho=0,0178\\ \dfrac{\Omega\cdot\mathrm{mm}^2}{\mathrm{m}} sem outra indicação, o caminho mais direto (e normalmente esperado) é usar esse \rho tal qual.

Resposta

R\approx 1,19\\ \Omega

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