Exercício 7. Calcular as seguintes integrais.
\int_{-2}^{5}|2 x-4| d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \int_{-2}^{5}\lvert 2x-4\rvert\,dx.
O conteúdo é integração de funções com valor absoluto. Precisamos identificar onde o argumento muda de sinal para reescrever a integral em subintervalos onde é uma função polinomial sem o valor absoluto.

Passo 2

Determinamos o ponto onde 2x-4=0, isto é x=2. Assim, para x<2 temos 2x-4<0 e \lvert 2x-4\rvert=4-2x, e para x>2 temos 2x-4>0 e \lvert 2x-4\rvert=2x-4. Logo,
\int_{-2}^{5}\lvert 2x-4\rvert\,dx =\int_{-2}^{2}(4-2x)\,dx +\int_{2}^{5}(2x-4)\,dx.

Passo 3

Calculamos as primitivas. Para \int(4-2x)\,dx, uma primitiva é 4x - x^{2}. Para \int(2x-4)\,dx, uma primitiva é x^{2}-4x. Portanto,
\int_{-2}^{2}(4-2x)\,dx =\bigl[4x - x^{2}\bigr]_{-2}^{2}, \quad \int_{2}^{5}(2x-4)\,dx =\bigl[x^{2}-4x\bigr]_{2}^{5}.

Passo 4

Avaliando as primitivas nos limites, temos:
Para o primeiro termo:
(4\cdot2 - 2^{2}) - \bigl(4\cdot(-2) - (-2)^{2}\bigr) =(8 - 4)-(-8 - 4) =4-(-12) =16.
Para o segundo termo:
(5^{2} - 4\cdot5) - \bigl(2^{2} - 4\cdot2\bigr) =(25 - 20)-(4 - 8) =5-(-4) =9.
Somando, o valor da integral é 16 + 9 = 25.

Resposta

25

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