Exercício 7. Calcular as seguintes integrais.
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{3}\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} x\bigl(1 + x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve a propriedade de linearidade da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos decompor o integrando, encontrar a primitiva e avaliar nos limites de -1 a 2.

Passo 2

Usamos linearidade para escrever
x\bigl(1 + x^{3}\bigr) = x + x^{4},
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\int_{-1}^{2} x\bigl(1 + x^{3}\bigr)\,dx = \int_{-1}^{2} x\,dx + \int_{-1}^{2} x^{4}\,dx.

Passo 3

Calculamos as primitivas separadamente.
A primitiva de x é
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
e a primitiva de x^{4} é
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Portanto, uma primitiva de x + x^{4} é
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-1}^{2} x\bigl(1 + x^{3}\bigr)\,dx = F(2) - F(-1).
Calculamos cada valor:
F(2) = \frac{2^{2}}{2} + \frac{2^{5}}{5} = \frac{4}{2} + \frac{32}{5} = 2 + \frac{32}{5} = \frac{10}{5} + \frac{32}{5} = \frac{42}{5},
F(-1) = \frac{(-1)^{2}}{2} + \frac{(-1)^{5}}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}.

Passo 5

Subtraindo, obtemos
F(2) - F(-1) = \frac{42}{5} - \frac{3}{10} = \frac{84}{10} - \frac{3}{10} = \frac{81}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{81}{10}

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