( 1,1 pontos) Faça o estudo completo da função
f(x)=\frac{x}{x-4}
Domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, Derivada, ponstos críticos, estudo do sinal da primeira derivada, Derivada segunda, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.

Passo 1

No enunciado temos a função
f(x)=\frac{x}{x-4}
O objetivo é fazer o estudo completo: determinar domínio, paridade, zeros, interseção com o eixo y, assíntotas, derivada, pontos críticos, sinal da primeira derivada (monotonia), segunda derivada, concavidade, tabela de variação e concavidade, e esboçar o gráfico identificando máximos, mínimos e pontos de inflexão.

Passo 2

Para achar o domínio, precisamos que o denominador seja diferente de zero. Assim:
x-4\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq4.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{4\}.
Para verificar paridade, comparamos f(-x) com \pm f(x):
f(-x)=\frac{-x}{-x-4}=\frac{-x}{-(x+4)}=\frac{x}{x+4}\neq\pm\frac{x}{x-4}.
Portanto f não é nem par nem ímpar.

Passo 3

As raízes vêm de x=0 se a função estiver definida, e 0\neq4, então é válida. Logo f(0)=0, o gráfico passa pela origem. A interseção com o eixo y ocorre em x=0, e já vimos que f(0)=0.

Passo 4

Assíntota vertical vem de onde a função explode: x=4.
Para a assíntota horizontal, calculamos o limite em infinito:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x-4} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x\bigl(1-4/x\bigr)} =\frac1{1-0}=1.
Então há a assíntota horizontal y=1. Alternativamente, dividindo polinômios:
\frac{x}{x-4}=1+\frac{4}{x-4},
mostra diretamente que y=1 é assíntota.

Passo 5

Usamos a regra do quociente para obter a derivada:
f'(x) =\frac{1\cdot(x-4)-x\cdot1}{(x-4)^2} =\frac{x-4-x}{(x-4)^2} =\frac{-4}{(x-4)^2}.

Passo 6

Como (x-4)^2>0 para todo x\neq4 e o numerador é -4<0, segue que
f'(x)<0\quad\forall\,x\neq4.
Logo f é estritamente decrescente em cada um dos intervalos (-\infty,4) e (4,\infty). Não há pontos onde f'(x)=0, portanto não existem pontos críticos internos – só a descontinuidade em x=4.

Passo 7

Agora a segunda derivada, derivando f'(x)=-4(x-4)^{-2}:
f''(x) =-4\cdot(-2)\,(x-4)^{-3} =\frac{8}{(x-4)^3}.

Passo 8

O sinal de f''(x) segue o de (x-4)^3:
  • Para x<4, (x-4)^3<0 f''(x)<0: concavidade voltada para baixo.
  • Para x>4, (x-4)^3>0 f''(x)>0: concavidade voltada para cima.
    Não há pontos onde f''(x)=0 no domínio, logo não existem pontos de inflexão internos.

Passo 9

Tabela resumida de monotonia e concavidade:
\begin{array}{c|cc|cc} x & -\infty & 4 & 4 & +\infty\\hline f'(x) & - & \text{desce} & - & \text{desce}\\\ f''(x) & - & \text{c. baixa}& + & \text{c. alta} \end{array}
Não há máximos ou mínimos locais (só decresce sempre). Também não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 10

Esboço qualitativo do gráfico: são duas ramificações de hipérbole.
  • Para x\to4^-, f(x)\to-\infty; para x\to4^+, f(x)\to+\infty.
  • Quando x\to\pm\infty, f(x)\to1.
  • Passa em (0,0), decresce sempre, concavidade muda ao atravessar x=4 (fora do domínio).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{4\}.
Paridade: nenhuma.
Raiz e intercepto y: (0,0).
Assíntotas: vertical x=4, horizontal y=1. f'(x)=-\tfrac{4}{(x-4)^2}<0, decrescente em (-\infty,4) e (4,\infty), sem extremos. f''(x)=\tfrac{8}{(x-4)^3}, concava para baixo em (-\infty,4) e para cima em (4,\infty), sem inflexões.
Gráfico: hipérbole com ramo inferior à esquerda de x=4 e ramo superior à direita, aproximando-se de y=1.

Exercícios relacionados