( 1,1 pontos) Faça o estudo completo da função
Domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, Derivada, ponstos críticos, estudo do sinal da primeira derivada, Derivada segunda, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
No enunciado temos a função
O objetivo é fazer o estudo completo: determinar domínio, paridade, zeros, interseção com o eixo
, assíntotas, derivada, pontos críticos, sinal da primeira derivada (monotonia), segunda derivada, concavidade, tabela de variação e concavidade, e esboçar o gráfico identificando máximos, mínimos e pontos de inflexão.
Passo 2
Para achar o domínio, precisamos que o denominador seja diferente de zero. Assim:
Logo o domínio é
.
Para verificar paridade, comparamos com
:
Para verificar paridade, comparamos
Portanto
não é nem par nem ímpar.
Passo 3
As raízes vêm de
se a função estiver definida, e
, então é válida. Logo
, o gráfico passa pela origem. A interseção com o eixo
ocorre em
, e já vimos que
.
Passo 4
Assíntota vertical vem de onde a função explode:
.
Para a assíntota horizontal, calculamos o limite em infinito:
Para a assíntota horizontal, calculamos o limite em infinito:
Então há a assíntota horizontal
. Alternativamente, dividindo polinômios:
mostra diretamente que
é assíntota.
Passo 5
Usamos a regra do quociente para obter a derivada:
Passo 6
Como
para todo
e o numerador é
, segue que
Logo
é estritamente decrescente em cada um dos intervalos
e
. Não há pontos onde
, portanto não existem pontos críticos internos – só a descontinuidade em
.
Passo 7
Agora a segunda derivada, derivando
:
Passo 8
O sinal de
segue o de
:
- Para
, ⇒ : concavidade voltada para baixo. - Para
, ⇒ : concavidade voltada para cima.
Não há pontos ondeno domínio, logo não existem pontos de inflexão internos.
Passo 9
Tabela resumida de monotonia e concavidade:
Não há máximos ou mínimos locais (só decresce sempre). Também não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 10
Esboço qualitativo do gráfico: são duas ramificações de hipérbole.
- Para
, ; para , . - Quando
, . - Passa em
, decresce sempre, concavidade muda ao atravessar (fora do domínio).
Resposta
Domínio:
.
Paridade: nenhuma.
Raiz e intercepto :
.
Assíntotas: vertical , horizontal
.
, decrescente em
e
, sem extremos.
, concava para baixo em
e para cima em
, sem inflexões.
Gráfico: hipérbole com ramo inferior à esquerda de e ramo superior à direita, aproximando-se de
.
Paridade: nenhuma.
Raiz e intercepto
Assíntotas: vertical
Gráfico: hipérbole com ramo inferior à esquerda de