[Retirada do livro de Cálculo do Sacha Friedli] Uma caixa retangular sem tampa é feita retirando quatro quadrados iguais dos cantos de uma folha de papelão de dimensões
, e dobrando os quatro lados:
( 0,5 pontos) Qual deve ser o tamanho dos quadrados retirados para maximizar o volume da caixa obtida?
( 0,5 pontos) Qual deve ser o tamanho dos quadrados retirados para maximizar o volume da caixa obtida?
Passo 1
O enunciado pede o valor do lado do quadrado
que devemos recortar em cada canto de uma folha de papelão de
,m por
,m, de modo a maximizar o volume de uma caixa retangular sem tampa. O conteúdo de cálculo envolvido é otimização de função de uma variável usando derivada.
Passo 2
Depois de recortar quadrados de lado
, a altura da caixa é
, o comprimento é
e a largura é
. Assim, definimos a função volume como
Passo 3
Para que as dimensões façam sentido, é preciso ter
o que implica
Passo 4
Expandindo e derivando para achar os pontos críticos:
Igualando a zero:
Passo 5
As soluções são
(fora de domínio) e
(dentro de
).
Como , o único ponto crítico viável é máximo global.
Como
Resposta
O lado do quadrado deve medir
(aproximadamente
m).