[Retirada do livro de Cálculo do Sacha Friedli] Uma caixa retangular sem tampa é feita retirando quatro quadrados iguais dos cantos de uma folha de papelão de dimensões 2 m \times 1 m, e dobrando os quatro lados:
( 0,5 pontos) Qual deve ser o tamanho dos quadrados retirados para maximizar o volume da caixa obtida?

Passo 1

O enunciado pede o valor do lado do quadrado (x) que devemos recortar em cada canto de uma folha de papelão de 2,m por 1,m, de modo a maximizar o volume de uma caixa retangular sem tampa. O conteúdo de cálculo envolvido é otimização de função de uma variável usando derivada.

Passo 2

Depois de recortar quadrados de lado x, a altura da caixa é x, o comprimento é 2 - 2x e a largura é 1 - 2x. Assim, definimos a função volume como
V(x) = x\,(2 - 2x)\,(1 - 2x).

Passo 3

Para que as dimensões façam sentido, é preciso ter
2 - 2x > 0 \quad\text{e}\quad 1 - 2x > 0,
o que implica
0 < x < 0{,}5.

Passo 4

Expandindo e derivando para achar os pontos críticos:
V(x) = 2x - 6x^2 + 4x^3,
V'(x) = 2 - 12x + 12x^2.
Igualando a zero:
12x^2 - 12x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 6x^2 - 6x + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}.

Passo 5

As soluções são \dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\approx0{,}789 (fora de domínio) e \dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\approx0{,}211 (dentro de (0,0{,}5)).
Como V(0)=V(0{,}5)=0, o único ponto crítico viável é máximo global.

Resposta

O lado do quadrado deve medir
x = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}\text{ m}
(aproximadamente 0{,}211 m).

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