Exercício 2 Calcule
integral-2^10|x-3| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral-2^10 |x - 3| , dx. Aqui, estamos trabalhando com funções absolutas e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função |x - 3| se comporta e dividir a integral em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função |x - 3|. A função valor absoluto |x - 3| muda a expressão dependendo se x - 3 é positivo ou negativo:
  • Para x < 3: x - 3 é negativo, então |x - 3| = 3 - x.
  • Para x >= 3: x - 3 é positivo ou zero, então |x - 3| = x - 3.

Passo 3

Com isso em mente, vamos dividir a integral em duas partes, onde a mudança ocorre em x = 3:
integral-2^10 |x - 3| , dx = integral-2^3 (3 - x) , dx + integral3^10 (x - 3) , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente começando pela primeira:
integral-2^3 (3 - x) , dx
A antiderivada de 3 é 3x e a antiderivada de -x é -x^22. Então:
integral (3 - x) , dx = 3x - x^22

Passo 5

Avaliar essa antiderivada nos limites de -2 a 3:
[3x - x^22]-2^3 = (3 cdot 3 - 3^22) - (3 cdot (-2) - (-2)^22)
= (9 - 92) - (-6 - 42) = (182 - 92) - (-6 - 2)
= 92 - (-8) = 92 + 8 = 92 + 162 = 252 = 12,5

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral3^10 (x - 3) , dx
A antiderivada de x é x^22 e a antiderivada de -3 é -3x. Então:
integral (x - 3) , dx = x^22 - 3x

Passo 7

Avaliar essa antiderivada nos limites de 3 a 10:
[x^22 - 3x ]3^10 = (10^22 - 3 cdot 10) - (3^22 - 3 cdot 3)
= (1002 - 30) - (92 - 9) = (50 - 30) - (92 - 182)
= 20 - (-92) = 20 + 92 = 402 + 92 = 492 = 24,5

Resposta

Somando as duas partes:
12,5 + 24,5 = 37
Então, o valor da integral é 37.

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