Exercício 2.1. Calcule a área da região do plano
contida no interior do cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do plano
que está “por dentro” do cilindro
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície em cálculo vetorial. Vamos usar a representação do plano como gráfico de uma função
e a fórmula
onde
é a projeção da região sobre o plano
.
Passo 2
Reescrevemos o plano como gráfico de
A projeção
dessa região sobre o plano
é justamente o interior do círculo
Assim
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo o fator de escala na área é
Portanto
Passo 4
Só falta calcular a área de
, que é o disco de raio
. Dessa forma
Substituindo, obtemos