Exercício 2.1. Calcule a área da região do plano x+y+z=2 contida no interior do cilindro x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano
x + y + z = 2
que está “por dentro” do cilindro
x^{2} + y^{2} = 1.
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície em cálculo vetorial. Vamos usar a representação do plano como gráfico de uma função z = f(x,y) e a fórmula
\text{Área} = \iint_{D} \sqrt{1 + \bigl(f_x\bigr)^2 + \bigl(f_y\bigr)^2}\,dA,Á
onde D é a projeção da região sobre o plano xy.

Passo 2

Reescrevemos o plano como gráfico de
z = f(x,y) = 2 - x - y.
A projeção D dessa região sobre o plano xy é justamente o interior do círculo
x^{2} + y^{2} \le 1.
Assim
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(2 - x - y) = -1, \qquad f_y = \frac{\partial}{\partial y}(2 - x - y) = -1.
Logo o fator de escala na área é
\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2} = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}.
Portanto
\text{Área} = \iint_{D} \sqrt{3}\,dA = \sqrt{3}\,\iint_{D} dA.Á

Passo 4

Só falta calcular a área de D, que é o disco de raio 1. Dessa forma
\iint_{D} dA = \pi \cdot 1^{2} = \pi.
Substituindo, obtemos
\text{Área} = \sqrt{3}\,\pi.Á

Resposta

\displaystyle \pi\sqrt{3}

Exercícios relacionados