Exercício 2.5. Calcule a área da superfície S de parametrização \vec{r}(u, v)=(u \cos v, u \operatorname{sen} v, u), com u \in[1,3] e v \in[0, \pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S parametrizada por
\vec r(u,v) = (\,u\cos v,\;u\sin v,\;u\,),
com \;u\in[1,3]\; e \;v\in[0,\pi/2].
O conteúdo é cálculo de área de superfície via integral de \lvert \vec r_u\times \vec r_v\rvert.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \vec r:
\vec r_u = \frac{\partial}{\partial u}\bigl(u\cos v,u\sin v,u\bigr) = (\cos v,\;\sin v,\;1),
\vec r_v = \frac{\partial}{\partial v}\bigl(u\cos v,u\sin v,u\bigr) = (-u\sin v,\;u\cos v,\;0).

Passo 3

Formamos o produto vetorial:
\vec r_u\times \vec r_v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \cos v & \sin v & 1\\\\ -\,u\sin v & u\cos v & 0 \end{vmatrix} = (-u\cos v,\;-u\sin v,\;u).

Passo 4

O módulo desse vetor é
\bigl\lvert \vec r_u\times \vec r_v\bigr\rvert =\sqrt{(-u\cos v)^2+(-u\sin v)^2+u^2} =\sqrt{u^2(\cos^2v+\sin^2v)+u^2} = u\sqrt{2}.

Passo 5

A área de S é
\iint_{D}\bigl\lvert \vec r_u\times \vec r_v\bigr\rvert\,du\,dv =\int_{v=0}^{\pi/2}\!\!\int_{u=1}^{3}u\sqrt{2}\;du\,dv =\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2}\!dv\;\int_{1}^{3}\!u\,du.
Como \int_{1}^{3}u\,du=\tfrac12(3^2-1^2)=4 e \int_{0}^{\pi/2}dv=\pi/2, segue
\text{Área} = \sqrt{2}\times\frac{\pi}{2}\times4 =2\pi\sqrt{2}.Á

Resposta

A área da superfície S é 2\pi\sqrt{2}.

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