Exercício 2.4. Calcule o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=\left(y, x, z^{2}\right) através do helicoide \vec{r}(u, v)=(u \cos v, u \operatorname{sen} v, v), com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo de vetores
\vec{F}(x,y,z) = (y,\,x,\,z^2)
através do helicoide parametrizado por
\vec{r}(u,v) = (u\cos v,\;u\operatorname{sen} v,\;v),
com 0\le u\le1 e 0\le v\le\pi.
Para calcular o fluxo de \vec{F} pela superfície S usamos a integral de superfície parametrizada:
\iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iint_{D}\vec{F}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \vec{r}:
\vec{r}_u = (\cos v,\;\operatorname{sen} v,\;0), \quad \vec{r}_v = (-u\operatorname{sen} v,\;u\cos v,\;1).
O produto vetorial fica
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \cos v&\operatorname{sen} v&0\\\\ -u\operatorname{sen} v&u\cos v&1 \end{vmatrix} = (\operatorname{sen} v,\,-\cos v,\;u).

Passo 3

Avaliaremos \vec{F} na parametrização e em seguida o produto escalar com \vec{r}_u\times\vec{r}_v.
\vec{F}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr) = \bigl(u\operatorname{sen} v,\;u\cos v,\;v^2\bigr).
Logo,
\vec{F}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v) = u\operatorname{sen} v\cdot\operatorname{sen} v + u\cos v\cdot(-\cos v) + v^2\cdot u = u(\operatorname{sen}^2 v - \cos^2 v) + u\,v^2.
Como \operatorname{sen}^2 v-\cos^2 v = -\cos2v, o integrando é
u\bigl(-\cos2v + v^2\bigr).

Passo 4

Montamos a integral dupla em (u,v)\in[0,1]\times[0,\pi]:
\iint_{D}u\bigl(-\cos2v + v^2\bigr)\,du\,dv = \int_{v=0}^{\pi}\int_{u=0}^{1}u\bigl(-\cos2v + v^2\bigr)\,du\,dv.
Integramos em u:
\int_{0}^{1}u\,du = \tfrac12,
então a integral em v fica
\tfrac12\int_{0}^{\pi}\bigl(v^2 - \cos2v\bigr)\,dv = \tfrac12\Bigl[\int_{0}^{\pi}v^2\,dv - \int_{0}^{\pi}\cos2v\,dv\Bigr].
Calculamos
\int_{0}^{\pi}v^2\,dv = \frac{\pi^3}{3}, \quad \int_{0}^{\pi}\cos2v\,dv = \frac{\sin2v}{2}\Big|_{0}^{\pi} = 0.
Portanto a integral é
\tfrac12\cdot\frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^3}{6}.

Resposta

\frac{\pi^3}{6}.

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