Exercício 3. Calcule a área da região utilizando integrais duplas:
Dentro do laço maior porém exterior ao laço menor do limaçon
;
Dentro do laço maior porém exterior ao laço menor do limaçon
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está dentro do laço maior, mas fora do laço menor, do limaçon
.
O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula
O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula
ou, quando há apenas uma curva
que delimita de dentro para fora,
Passo 2
Precisamos separar o laço maior e o laço menor. Eles separam-se quando
, ou seja
Para
,
e obtemos o laço maior.
Para ,
e isso gera o laço menor.
Para
Passo 3
Área do laço maior:
Como o integrando é par em
, podemos usar simetria:
Expandindo
e lembrando , obtemos a primitiva
e lembrando
Aí,
Passo 4
Área do laço menor:
Usamos a mesma primitiva dividida por
:
Passo 5
A área pedida é a diferença entre a do laço maior e a do laço menor: