Exercício 3. Calcule a área da região utilizando integrais duplas:
Dentro do laço maior porém exterior ao laço menor do limaçon r=1+2 \cos \theta;

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro do laço maior, mas fora do laço menor, do limaçon \,r=1+2\cos\theta.
O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula
A = \iint_{D} dA = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\!\int_{r_{\rm interno}}^{r_{\rm externo}} r\,dr\,d\theta
ou, quando há apenas uma curva r(\theta) que delimita de dentro para fora,
A = \frac12\int_{\theta_1}^{\theta_2} \bigl[r(\theta)\bigr]^2\,d\theta.

Passo 2

Precisamos separar o laço maior e o laço menor. Eles separam-se quando r=0, ou seja
1+2\cos\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{2\pi}{3},\;\frac{4\pi}{3}.
Para \theta\in[-\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}], r\ge0 e obtemos o laço maior.
Para \theta\in[\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}], r\le0 e isso gera o laço menor.

Passo 3

Área do laço maior:
A_{\rm maior} =\frac12\int_{-\tfrac{2\pi}{3}}^{\tfrac{2\pi}{3}}(1+2\cos\theta)^2\,d\theta.
Como o integrando é par em \theta, podemos usar simetria:
A_{\rm maior} =\int_{0}^{\tfrac{2\pi}{3}}\!(1+2\cos\theta)^2\,d\theta.
Expandindo (1+2\cos\theta)^2=1+4\cos\theta+4\cos^2\theta
e lembrando \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}2, obtemos a primitiva
\int(1+4\cos\theta+4\cos^2\theta)\,d\theta =3\theta+4\sin\theta+\sin2\theta.
Aí,
A_{\rm maior} =\Bigl[3\theta+4\sin\theta+\sin2\theta\Bigr]_{0}^{2\pi/3} =2\pi+\frac{3\sqrt3}{2}.

Passo 4

Área do laço menor:
A_{\rm menor} =\frac12\int_{\tfrac{2\pi}{3}}^{\tfrac{4\pi}{3}}(1+2\cos\theta)^2\,d\theta.
Usamos a mesma primitiva dividida por 2:
A_{\rm menor} =\frac12\Bigl[3\theta+4\sin\theta+\sin2\theta\Bigr]_{\tfrac{2\pi}{3}}^{\tfrac{4\pi}{3}} =\pi-\frac{3\sqrt3}{2}.

Passo 5

A área pedida é a diferença entre a do laço maior e a do laço menor:
A = A_{\rm maior}-A_{\rm menor} =\Bigl(2\pi+\tfrac{3\sqrt3}{2}\Bigr) -\Bigl(\pi-\tfrac{3\sqrt3}{2}\Bigr) =\pi+3\sqrt3.

Resposta

\displaystyle \pi + 3\sqrt3

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