Exercício 2. Calcule as integrais duplas utilizando coordenadas polares:
\iint_{\Omega} \operatorname{arctg}(y / x) d A, \Omega=\left\{(x, y): 0 \leq y \leq x\right. e \left.1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\Omega} \operatorname{arctg}\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dA,
onde
\Omega = \{(x,y)\mid 0 \le y \le x,\;1 \le x^2+y^2 \le 4\}.
O conteúdo é mudança para coordenadas polares. Vamos usar
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e notar que \operatorname{arctg}(y/x)=\theta quando x>0 e y\ge0.

Passo 2

Determinar os limites em (r,\theta):
  • A condição 1\le x^2+y^2\le4 vira 1\le r^2\le4, ou seja 1\le r\le2.
  • A condição 0\le y\le x equivale a 0\le \theta\le\pi/4.
Logo \Omega em polares é
0\le \theta\le \frac{\pi}{4},\quad 1\le r\le 2.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\iint_{\Omega}\operatorname{arctg}\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2}\theta\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi/4}\!\!\int_{1}^{2}\theta\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integrando primeiro em r:
\int_{1}^{2}r\,dr =\biggl[\frac{r^2}{2}\biggr]_{1}^{2} =\frac{4-1}{2} =\frac{3}{2}.
Então a integral vira
\int_{0}^{\pi/4}\theta\cdot\frac{3}{2}\,d\theta =\frac{3}{2}\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta =\biggl[\frac{\theta^2}{2}\biggr]_{0}^{\pi/4} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)^{2} =\frac{\pi^2}{32}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2}:
\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi^2}{32} =\frac{3\pi^2}{64}.

Resposta

\frac{3\pi^2}{64}.

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