Exercício 3. Calcule a área da
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para calcular a área de uma superfície
definida pelas condições
e
. Vamos precisar usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente o cálculo de área de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a superfície e aplicar a fórmula apropriada para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Essa é a equação de um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo
. Ou seja, para cada valor de
, temos um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 3
Agora, a condição
nos diz que
varia de 0 até
. Isso significa que a superfície
é como uma “tampa” que vai do piso
até uma superfície superior definida por
.
Passo 4
Para calcular a área da superfície
, vamos parametrizar a superfície. Como temos um cilindro, é conveniente usar coordenadas polares para simplificar os cálculos. Vamos definir:
onde
varia de 0 a
.
Passo 5
A superfície
está definida por
, então substituindo
e
na equação:
A área da superfície pode ser calculada usando a fórmula:
Neste caso, como
é constante (2), a fórmula simplifica para:
Passo 6
Calculando a derivada de
em relação a
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 7
Fatorando o 4 dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de cálculo avançado ou tabelas de integrais, resultando em:
Resposta
A área da superfície
é
unidades de área.