Exercício 3. Calcule a área da
S = {(x, y, z): x^2 + y^2 = 4 e 0 <= z <= xy + 4}

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para calcular a área de uma superfície definida pelas condições e . Vamos precisar usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente o cálculo de área de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a superfície e aplicar a fórmula apropriada para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Essa é a equação de um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo . Ou seja, para cada valor de , temos um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Agora, a condição nos diz que varia de 0 até . Isso significa que a superfície é como uma “tampa” que vai do piso até uma superfície superior definida por .

Passo 4

Para calcular a área da superfície , vamos parametrizar a superfície. Como temos um cilindro, é conveniente usar coordenadas polares para simplificar os cálculos. Vamos definir:
onde varia de 0 a .

Passo 5

A superfície está definida por , então substituindo e na equação:
A área da superfície pode ser calculada usando a fórmula:
Neste caso, como é constante (2), a fórmula simplifica para:

Passo 6

Calculando a derivada de em relação a :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 7

Fatorando o 4 dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de cálculo avançado ou tabelas de integrais, resultando em:

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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