Exercício 4. Calcule integralC x y d x+(x-y) d y em que C é o arco de círculo centrado na origem partindo do ponto (2,0) a (0,2), percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha integralC x y , dx + (x - y) , dy. O enunciado nos diz que C é um arco de círculo centrado na origem, indo do ponto (2,0) até (0,2), no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Isso vai facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada C que delimita uma região D, a integral de linha integralC P , dx + Q , dy é igual à integral dupla sobre D de ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA. No nosso caso, P = x y e Q = x - y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (x - y)partial x = 1
partial Ppartial y = partial (x y)partial y = x
Agora, substituindo no Teorema de Green:
integralC x y , dx + (x - y) , dy = integral duplaD (1 - x) , dA

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para a região D. Como C é um quarto de círculo de raio 2, centrado na origem, indo de (2,0) a (0,2), nossa região D é um setor circular com theta variando de 0 a pi2.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar:
x = r cos theta e y = r sin theta
O raio r varia de 0 a 2, e o ângulo theta varia de 0 a pi2.

Passo 5

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD (1 - x) , dA = integral0^pi2 integral0^2 (1 - r cos theta) , r , dr , dtheta
Aqui, dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em r primeiro:
integral0^2 (r - r^2 cos theta) , dr = [ r^22 - r^3 cos theta3 ]0^2 = ( 42 - 8 cos theta3 ) = 2 - 83 cos theta

Passo 7

Agora, integramos em theta:
integral0^pi2 ( 2 - 83 cos theta ) dtheta = 2 [ theta ]0^pi2 - 83 [ sin theta ]0^pi2 = 2 cdot pi2 - 83 cdot 1 = pi - 83

Resposta

A integral integralC x y , dx + (x - y) , dy vale pi - dfrac83.

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