Exercício 4. Calcule
em que
é o arco de círculo centrado na origem partindo do ponto
a
, percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha
. O enunciado nos diz que
é um arco de círculo centrado na origem, indo do ponto
até
, no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Isso vai facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
é igual à integral dupla sobre
de
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo no Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os limites de integração para a região
. Como
é um quarto de círculo de raio
, centrado na origem, indo de
a
, nossa região
é um setor circular com
variando de
a
.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar:
O raio
varia de
a
, e o ângulo
varia de
a
.
Passo 5
Substituindo na integral dupla:
Aqui,
em coordenadas polares é
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral
vale
.