Exercício 2. Calcule as integrais duplas a seguir realizando uma mudança de integrais apropriada:
(d)
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por . Vamos usar uma mudança de variáveis para facilitar essa integral. Isso envolve transformar as coordenadas de e para outras novas variáveis que tornam a região de integração mais simples, geralmente transformando uma elipse em um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a região é uma elipse. Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variáveis que converta essa elipse em um círculo unitário. Podemos definir:
Com essa mudança, a inequação da região fica:
Agora, a região transformada é o círculo unitário .
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e :
Também precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano é:
Passo 4
Com a mudança de variáveis e o Jacobiano, reescrevemos a integral dupla:
integral duplaD x^2 , dA = integral duplau^2 + v^2 <= 1 ( u2 )^2 cdot 12 , du , dv = integral duplau^2 + v^2 <= 1 u^28 , du , dv
Simplificamos a expressão para facilitar a integração.
Passo 5
Agora, vamos usar coordenadas polares para resolver essa integral, já que a região é um círculo. Definindo:
u = r cos theta e v = r sin theta
E 18 integral0^2pi integral0^1 (r cos theta)^2 cdot r , dr , dtheta = 18 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta integral0^1 r^3 , dr , a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente:
Primeiro, a integral em integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
Agora, a integral em :
(Usamos a identidade e sabemos que a integral de de 0 a é zero, restando ).