Exercício 2. Calcule as integrais duplas a seguir realizando uma mudança de integrais apropriada:
© integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região que está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral dupla. A integral é integral duplaD e^-x^2-y^2 , dA, onde a região D está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante esse tipo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Como está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2, isso significa que D é um setor circular com raio a. Em coordenadas polares, qualquer ponto nessa região pode ser descrito por (r, theta), onde r varia de 0 até a, e theta varia de 0 até pi2 (90 graus), já que estamos no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, x = r costheta, y = r sintheta, e o elemento de área dA se transforma em r , dr , dtheta. A função que estamos integrando, e^-x^2-y^2, fica e^-r^2 em coordenadas polares. Então, a integral dupla fica:
integral duplaD e^-x^2-y^2 , dA = integral0^pi2 integral0^a e^-r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^a e^-r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição u = -r^2, temos du = -2r , dr, ou seja, r , dr = -12 du. Assim, a integral fica:
-12 integral0^-a^2 e^u , du = 12 ( e^0 - e^-a^2 ) = 1 - e^-a^22
Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^pi2 1 - e^-a^22 , dtheta = 1 - e^-a^22 cdot pi2 = pi4 (1 - e^-a^2)

Resposta

A integral dupla vale dfracpi4(1 - e^-a^2).

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