Exercício 2. Calcule as integrais duplas a seguir realizando uma mudança de integrais apropriada:
©
, onde
é a região que está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral dupla. A integral é
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante esse tipo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Como está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência
, isso significa que
é um setor circular com raio
. Em coordenadas polares, qualquer ponto nessa região pode ser descrito por
, onde
varia de
até
, e
varia de
até
(90 graus), já que estamos no primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
,
, e o elemento de área
se transforma em
. A função que estamos integrando,
, fica
em coordenadas polares. Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale
.