Resolver a recorrencia
x_{n+2}-6 x_{n+1}+9 x_{n}=1+n 3^{n}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência
x_{n+2}-6\,x_{n+1}+9\,x_{n}=1+n\,3^{n}.
Isto é uma recorrência linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Solução homogênea: consideramos
x_{n+2}-6\,x_{n+1}+9\,x_{n}=0
e montamos a equação característica
r^{2}-6r+9=0\;\Longrightarrow\;(r-3)^{2}=0
Temos raiz dupla r=3. Logo
x_{n}^{(h)}=(C_{1}+C_{2}\,n)\,3^{n},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Solução particular por método dos coeficientes a determinar:
a) O termo constante 1 sugere tentar x_{n}^{(p1)}=D.
b) O termo n\,3^{n}, como 3 é raiz dupla da característica, exige multiplicar por n^{2}. Logo tentamos
x_{n}^{(p2)}=n^{2}\,(E\,n+F)\,3^{n}=(E\,n^{3}+F\,n^{2})\,3^{n}.
Somando, a solução particular geral é
x_{n}^{(p)}=D + \bigl(E\,n^{3}+F\,n^{2}\bigr)\,3^{n}.

Passo 4

Substituímos x_{n}^{(p)}=D+f(n)\,3^{n} na recorrência, com f(n)=E n^{3}+F n^{2}. Calcula-se
x_{n+2}-6\,x_{n+1}+9\,x_{n} =4D \;+\;3^{n}\bigl[\,9f(n+2)-18f(n+1)+9f(n)\bigr].
Isto deve ser igual a 1+n\,3^{n}. Logo
4D=1, \qquad 9\bigl[f(n+2)-2f(n+1)+f(n)\bigr]=n.
Ou seja
D=\tfrac14, \qquad f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=\frac{n}{9}.

Passo 5

Calculamos a diferença de f:
f(n)=E n^{3}+F n^{2},
f(n+1)=E(n+1)^{3}+F(n+1)^{2}, \quad f(n+2)=E(n+2)^{3}+F(n+2)^{2}.
O trabalho leva a
f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=6E\,n + (6E+2F).
Comparando com n/9, obtemos o sistema
6E=\tfrac1{9}\quad\Longrightarrow\quad E=\tfrac1{54},
6E+2F=0\quad\Longrightarrow\quad F=-\tfrac1{18}.

Passo 6

Montando tudo, a solução geral é
x_{n} =x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)} =(C_{1}+C_{2}n)\,3^{n} +\frac14 +\Bigl(\tfrac1{54}n^{3}-\tfrac1{18}n^{2}\Bigr)\,3^{n}.
Agrupando termos em 3^{n}, fica
\boxed{ x_{n} =\frac14 \;+\;3^{n}\Bigl(C_{1}+C_{2}n+\tfrac{n^{3}}{54}-\tfrac{n^{2}}{18}\Bigr), }
onde C_{1},C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x_{n} =\frac14 \;+\;3^{n}\Bigl(C_{1}+C_{2}n+\tfrac{n^{3}}{54}-\tfrac{n^{2}}{18}\Bigr).

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