Resolver a recorrencia
Passo 1
O enunciado pede para resolver a recorrência
Isto é uma recorrência linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
Solução homogênea: consideramos
e montamos a equação característica
Temos raiz dupla
. Logo
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Solução particular por método dos coeficientes a determinar:
a) O termo constante sugere tentar
.
b) O termo , como
é raiz dupla da característica, exige multiplicar por
. Logo tentamos
a) O termo constante
b) O termo
Somando, a solução particular geral é
Passo 4
Substituímos
na recorrência, com
. Calcula-se
Isto deve ser igual a
. Logo
Ou seja
Passo 5
Calculamos a diferença de
:
O trabalho leva a
Comparando com
, obtemos o sistema
Passo 6
Montando tudo, a solução geral é
Agrupando termos em
, fica
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.