Exercício 1 Calcule o comprimento das seguintes curvas
y=\sqrt{x-x^{2}}+\sin ^{-1}(\sqrt{x}), 0 \leq x \leq \frac{1}{4}.

Passo 1

Temos a curva
y=\sqrt{x - x^{2}}+\sin^{-1}(\sqrt{x}),\quad 0\le x\le \tfrac14
e queremos o comprimento de arco. O conteúdo é comprimento de curva no plano com equação y=f(x). A fórmula é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Vamos achar y'. Escrevemos
y=A(x)+B(x), \quad A(x)=\sqrt{x(1-x)},\quad B(x)=\arcsin\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Para A(x):
A'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x(1-x)\bigr) =\frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}.
Para B(x), seja u=\sqrt{x}, então B=\arcsin(u) e
B'(x)=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}} =\frac{\tfrac1{2\sqrt{x}}}{\sqrt{1-x}} =\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}.
Somando,
y'(x) =\frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}+\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} =\frac{2-2x}{2\sqrt{x(1-x)}} =\frac{1-x}{\sqrt{x(1-x)}}.

Passo 3

Agora calculamos
1+\bigl(y'\bigr)^{2} =1+\frac{(1-x)^{2}}{x(1-x)} =\frac{x(1-x)+(1-x)^{2}}{x(1-x)} =\frac{1-x}{x(1-x)} =\frac1{x}.
Logo
\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}} =\frac1{\sqrt{x}}.

Passo 4

O comprimento é
L=\int_{0}^{\tfrac14}\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx =\bigl[2\sqrt{x}\bigr]_{0}^{1/4} =2\sqrt{\tfrac14}-2\sqrt{0} =2\cdot\tfrac12 =1.

Resposta

O comprimento da curva é 1.

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