Exercício 7. Calcule as integrais:
integral sen(3 x) cos (5 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin(3x),cos(5x),dx
O conteúdo aplicado será integração de funções trigonométricas usando a identidade de produto para soma.

Passo 2

Usamos a identidade
sin(u)cos(v)=tfrac12l[sin(u+v)+sin(u-v)r]
Aqui u=3x e v=5x, logo
sin(3x)cos(5x) =tfrac12l[sin(8x)+sin(-2x)r] =tfrac12l[sin(8x)-sin(2x)r]

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa soma, temos
integral sin(3x)cos(5x),dx =tfrac12integralsin(8x),dx -tfrac12integralsin(2x),dx
Sabemos que
integral sin(8x),dx=-tfrac18cos(8x), integral sin(2x),dx=-tfrac12cos(2x)

Passo 4

Substituindo na expressão e fatorando tfrac12, fica
integral sin(3x)cos(5x),dx =tfrac12l(-tfrac18cos(8x)r) -tfrac12l(-tfrac12cos(2x)r)+C
Isso simplifica para
-tfrac116cos(8x)+tfrac14cos(2x)+C

Resposta

boxed integral sin(3x)cos(5x),dx =-tfrac116cos(8x)+tfrac14cos(2x)+C

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