Exercício 2. Um fabricante de refrigerante quer produzir latas cilíndricas para seu produto. A lata deve ter um volume de 360 ml . Expresse a área superficial total da lata em função do seu raio e dê o domínio da função.

Passo 1

O enunciado pede para modelar a área superficial total de uma lata cilíndrica em função do raio r, sabendo que o volume deve ser 360 mL ( =360 c m^3). Vamos usar as fórmulas do cilindro:
– Volume:
V = pi r^2 h
– Área superficial total:
A = 2pi r^2 + 2pi r h
Precisamos expressar A apenas em termos de r.

Passo 2

Usando a condição de volume fixo, temos
pi r^2 h = 360
Isolando a altura h, obtemos
h = 360pi r^2

Passo 3

Substituímos essa expressão de h na fórmula da área:
A(r) = 2pi r^2 + 2pi rl(360pi r^2r)

Passo 4

Simplificando a segunda parcela:
2pi rcdot360pi r^2 = 720r
Logo a função área fica
A(r) = 2pi r^2 + 720r

Passo 5

Como r é um raio de cilindro, deve ser positivo. Além disso, para h ser finito e positivo precisamos só de r>0.
Portanto o domínio é
r>0

Resposta

A(r) = 2pi r^2 + dfrac720r, com domínio r>0.

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