Resolva o problema de valor inicial.
d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, y(0)=1)
d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, y(0)=1)
Passo 1
Temos a equação diferencial
com condição inicial
. Esse é um problema de equação exata, então vamos buscar uma função potencial
.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculando as derivadas parciais, temos
e
, logo a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integrando em
:
Para achar
Igualando a
obtemos
. Integramos em
:
$$
h(y)=\int(2+y e^y),dy=2y+y ey-ey.$$
Passo 4
A solução implícita geral é
$$
e^x+xy+2y+y ey-ey=K.
1+0+2+e-e=3=K.
e^x+xy+2y+y ey-ey=3.$$