Resolva o problema de valor inicial.
d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, y(0)=1)

Passo 1

Temos a equação diferencial (e^x + y),dx + (2 + x + y e^y),dy = 0 com condição inicial y(0)=1. Esse é um problema de equação exata, então vamos buscar uma função potencial psi(x,y).

Passo 2

Identificamos M(x,y)=e^x+y e N(x,y)=2+x+y e^y. Calculando as derivadas parciais, temos partial M/partial y=1 e partial N/partial x=1, logo a equação é exata.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) tal que partialpsi/partial x=M(x,y). Integrando em x:
psi(x,y)=integral(e^x+y),dx=e^x+xy+h(y)
Para achar h(y), derivamos psi em relação a y:
partialpsipartial y=x+h'(y)
Igualando a N(x,y) obtemos h'(y)=2+y e^y. Integramos em y:
$$
h(y)=\int(2+y e^y),dy=2y+y ey-ey.$$

Passo 4

A solução implícita geral é
$$
e^x+xy+2y+y ey-ey=K. e^x+xy+2y+y e^y-e^y=Kçã
1+0+2+e-e=3=K. y(0)=1çãçã
e^x+xy+2y+y ey-ey=3.$$

Resposta

e^x+xy+2y+ye^y-e^y=3

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