Exercício 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo Y, da região limitada pelas curvas.
y=x^{2}, \quad y=x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região no plano limitada pelas curvas
y = x^2
e
y = x.
O método apropriado aqui é o dos casquilhos cilíndricos, pois giramos em torno do eixo vertical e podemos parametrizar em x.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
x^2 = x
x(x - 1) = 0
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x = 0 \quad\text{e}\quad x = 1.

Passo 3

Em cada valor de x\in[0,1] descrevemos um casquilho de:
– raio igual a x (distância ao eixo y);
– altura igual à diferença entre a função superior y=x e a inferior y=x^2, ou seja
\text{altura} = x - x^2.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método dos casquilhos é
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})(\text{altura})\,dx.
Aqui a=0, b=1, raio =x e altura =x - x^2. Então
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl(x - x^2\bigr)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
Portanto
V = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}.

Resposta

V = \frac{\pi}{6}.

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