Exercício 6. Calcule a convolução das funções.
(1 * 1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução de duas funções ‘retângulo’ de altura 1 e suporte em [0,1]. O conteúdo é convolução de funções, e vamos precisar da definição.
Lembrando que a definição de convolução é
(f*g)(t)=integral-infty^inftyf(tau),g(t-tau),dtau

Passo 2

Aqui temos f(t)=1 para t∈[0,1] (e zero fora) e g(t)=f(t). Substituindo na integral,
(f*f)(t)=integral-infty^infty1[0,1](tau);1[0,1](t-tau),dtau

Passo 3

Agora determinamos onde o integrando é não-nulo. Precisamos que 0≤τ≤1 e 0≤t−τ≤1, isto é τ∈[0,1] e τ∈[t−1,t]. Logo o intervalo de integração é a interseção [0,1]∩[t−1,t].
O comprimento desse intervalo é
min(1,t) - max(0,t-1)

Passo 4

Portanto, a convolução vira uma função triangular supportada em [0,2], que cresce linearmente até t=1 e depois decresce.

Resposta

(f*f)(t)= 0, & t<0, t, & 0 <= t <= 1, 2 - t, & 1 < t <= 2, 0, & t>2

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