Exercício 6. Calcule a convolução das funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução de duas funções ‘retângulo’ de altura 1 e suporte em [0,1]. O conteúdo é convolução de funções, e vamos precisar da definição.
Lembrando que a definição de convolução é
Passo 2
Aqui temos f(t)=1 para t∈[0,1] (e zero fora) e g(t)=f(t). Substituindo na integral,
Passo 3
Agora determinamos onde o integrando é não-nulo. Precisamos que 0≤τ≤1 e 0≤t−τ≤1, isto é τ∈[0,1] e τ∈[t−1,t]. Logo o intervalo de integração é a interseção [0,1]∩[t−1,t].
O comprimento desse intervalo é
O comprimento desse intervalo é
Passo 4
Portanto, a convolução vira uma função triangular supportada em [0,2], que cresce linearmente até t=1 e depois decresce.