Exercício 2
Calcule, pela definição, a integral de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
no intervalo de
até
. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a definição de integral definida. Para resolver isso, vamos entender o que é uma integral definida e como calcular passo a passo usando a definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função em um intervalo
representa a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. A definição formal usa limites e somas, mas vamos simplificar.
Passo 3
Dividimos o intervalo
em vários subintervalos pequenos. Quanto mais subintervalos a gente tiver, mais precisa será nossa aproximação da área. Imagina que cada subintervalo tem largura
.
Passo 4
Em cada subintervalo, escolhemos um ponto
para calcular o valor da função
. Esse valor representa a altura de um retângulo, e a área desse retângulo é
.
Passo 5
A gente soma todas essas áreas dos retângulos para aproximar a integral. Matematicamente, isso fica assim:
Quando o número de subintervalos
tende ao infinito e
tende a zero, a soma se torna a integral definida.
Passo 6
Agora, aplicando isso na nossa função
, vamos calcular a integral:
Usando as regras básicas de integração, sabemos que:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos para a integral definida.
Passo 7
A gente agora avalia essa antiderivada nos limites de integração, ou seja, de 1 a 5:
Passo 8
Vamos calcular cada parte:
Para :
Para
Para
:
Passo 9
Subtraímos os resultados:
Resposta
A integral de
no intervalo
é igual a 88.