Exercício 2

Calcule, pela definição, a integral de f(x)=5 x+7 em [1,5].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de f(x) = 5x + 7 no intervalo de x = 1 até x = 5 . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a definição de integral definida. Para resolver isso, vamos entender o que é uma integral definida e como calcular passo a passo usando a definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função em um intervalo [a, b] representa a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. A definição formal usa limites e somas, mas vamos simplificar.

Passo 3

Dividimos o intervalo [1, 5] em vários subintervalos pequenos. Quanto mais subintervalos a gente tiver, mais precisa será nossa aproximação da área. Imagina que cada subintervalo tem largura De<a x.

Passo 4

Em cada subintervalo, escolhemos um ponto xi para calcular o valor da função f(xi). Esse valor representa a altura de um retângulo, e a área desse retângulo é f(xi) times De<a x.

Passo 5

A gente soma todas essas áreas dos retângulos para aproximar a integral. Matematicamente, isso fica assim:
Integral approx sumi=1^n f(xi) De<a x
Quando o número de subintervalos n tende ao infinito e De<a x tende a zero, a soma se torna a integral definida.

Passo 6

Agora, aplicando isso na nossa função f(x) = 5x + 7, vamos calcular a integral:
integral1^5 (5x + 7) , dx
Usando as regras básicas de integração, sabemos que:
integral (5x + 7) , dx = 52x^2 + 7x + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos para a integral definida.

Passo 7

A gente agora avalia essa antiderivada nos limites de integração, ou seja, de 1 a 5:
[ 52x^2 + 7x ]1^5 = ( 52(5)^2 + 7 times 5 ) - ( 52(1)^2 + 7 times 1 )

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
Para x = 5:
52 times 25 + 35 = 1252 + 35 = 62,5 + 35 = 97,5
Para x = 1:
52 times 1 + 7 = 52 + 7 = 2,5 + 7 = 9,5

Passo 9

Subtraímos os resultados:
97,5 - 9,5 = 88

Resposta

A integral de f(x) = 5x + 7 no intervalo [1, 5] é igual a 88.

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