Exercício 0.3 Calcule a derivada das funções a seguir:
h(x)=raiz4 sen^2(x)+9 cos ^2(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=raiz4sin^2(x)+9cos^2(x). O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivadas de funções trigonométricas ( sin e cos).

Passo 2

Reescrevemos h(x) como potência para facilitar a aplicação da regra da cadeia. Definimos u(x)=4sin^2(x)+9cos^2(x), de modo que
h(x)=l(u(x)r)^tfrac12

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada de u(x). Como u(x)=4sin^2(x)+9cos^2(x), usamos:
  • dfracddx[sin^2(x)]=2sin(x)cos(x)
  • dfracddx[cos^2(x)]=-2cos(x)sin(x).
    Logo,
u'(x)=4cdot2sin(x)cos(x)+9cdot(-2cos(x)sin(x))=8sin(x)cos(x)-18sin(x)cos(x)=-10sin(x)cos(x)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para h(x)=(u(x))^1/2:
h'(x)=12l(u(x)r)^-1/2cdot u'(x)=u'(x)2raizu(x)

Passo 5

Substituímos u(x) e u'(x) na expressão acima e simplificamos:
h'(x)=-10sin(x)cos(x)2raiz4sin^2(x)+9cos^2(x)=-5sin(x)cos(x)raiz4sin^2(x)+9cos^2(x)

Resposta

h'(x)=dfrac-5sin(x)cos(x)raiz4sin^2(x)+9cos^2(x).

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