Exercício 9: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada. Informações relevantes que temos:
Observação importante: como há
no denominador, a função não está definida em
; portanto qualquer expressão final para
também só valerá para
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função como soma de potências de
— isso facilita muito o uso da regra de potência. Dividindo cada termo do numerador por
obtemos:
Agora simplificamos as frações:
Portanto
Passo 3
Vamos lembrar a regra que usaremos: a regra da potência. Ela diz que, para qualquer número real
,
Explicando:
é o expoente (pode ser inteiro, negativo ou fracionário), e
é a variável. A derivada multiplica pela potência atual
e subtrai 1 do expoente. Exemplos rápidos para fixar: se
então
; se
então
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da potência termo a termo em
.
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
(constante multiplicativa preserva-se):
Somando as duas derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para uma forma racional mais “bonitinha”. Escrevemos com denominador comum
:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Somando:
Passo 6
Motivo da escolha do método: eu optei por reescrever a função em potências e aplicar a regra da potência porque é mais direto e menos sujeito a erros do que aplicar a regra do quociente. A regra do quociente daria o mesmo resultado, mas envolveria mais passos de produto e sinais; para frações do tipo
reescrever em potências quase sempre é a opção mais simples na prova.
Passo 7
Concluímos que a derivada existe para
e sua forma simplificada é a que obtivemos acima. Vai dar tudo certo — lembre-se de justificar que
por causa do denominador!