Exercício 9: Calcule as derivadas.
f(x)=\frac{x+2}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada. Informações relevantes que temos:
f(x)=\frac{x+2}{x^{2}}.
Observação importante: como há x^{2} no denominador, a função não está definida em x=0; portanto qualquer expressão final para f'(x) também só valerá para x\neq 0.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função como soma de potências de x — isso facilita muito o uso da regra de potência. Dividindo cada termo do numerador por x^{2} obtemos:
\frac{x+2}{x^{2}}=\frac{x}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}.
Agora simplificamos as frações:
\frac{x}{x^{2}}=x^{-1},\qquad \frac{2}{x^{2}}=2x^{-2}.
Portanto
f(x)=x^{-1}+2x^{-2}.

Passo 3

Vamos lembrar a regra que usaremos: a regra da potência. Ela diz que, para qualquer número real n,
\text{se }g(x)=x^{n}\text{ então }g'(x)=n x^{n-1}.ã
Explicando: n é o expoente (pode ser inteiro, negativo ou fracionário), e x é a variável. A derivada multiplica pela potência atual n e subtrai 1 do expoente. Exemplos rápidos para fixar: se h(x)=x^{3} então h'(x)=3x^{2}; se k(x)=x^{-1} então k'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência termo a termo em f(x)=x^{-1}+2x^{-2}.
Derivada do primeiro termo x^{-1}:
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big) = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.
Derivada do segundo termo 2x^{-2} (constante multiplicativa preserva-se):
\frac{d}{dx}\big(2x^{-2}\big) = 2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big) = 2\cdot\big(-2\cdot x^{-3}\big) = -4x^{-3}.
Somando as duas derivadas:
f'(x) = -x^{-2} -4x^{-3}.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para uma forma racional mais “bonitinha”. Escrevemos com denominador comum x^{3}:
-x^{-2} -4x^{-3} = -\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}}.
Colocando sobre o mesmo denominador x^{3}:
-\frac{1}{x^{2}} = -\frac{x}{x^{3}},\qquad -\frac{4}{x^{3}}=-\frac{4}{x^{3}}.
Somando:
f'(x) = -\frac{x}{x^{3}} - \frac{4}{x^{3}} = -\frac{x+4}{x^{3}}.

Passo 6

Motivo da escolha do método: eu optei por reescrever a função em potências e aplicar a regra da potência porque é mais direto e menos sujeito a erros do que aplicar a regra do quociente. A regra do quociente daria o mesmo resultado, mas envolveria mais passos de produto e sinais; para frações do tipo \frac{\text{polinômio}}{x^{n}}ô reescrever em potências quase sempre é a opção mais simples na prova.

Passo 7

Concluímos que a derivada existe para x\neq 0 e sua forma simplificada é a que obtivemos acima. Vai dar tudo certo — lembre-se de justificar que x\neq 0 por causa do denominador!

Resposta

-\dfrac{x+4}{x^{3}}

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