Exercício 5: Calcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio (soma de termos em
). - Precisamos encontrar
, isto é, a função derivada de .
Nada mais é pedido.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada (essa é a base, boa ter decorada para entender o que estamos fazendo). Para uma função
, a derivada em
é o limite
Explicando:
é um pequeno incremento em
; a fração
mede a taxa média de variação de
em torno de
; ao fazer
obtemos a taxa instantânea, que é a derivada. As variáveis aqui:
é o ponto onde derivamos,
é o incremento que tende a zero.
Passo 3
Aplique a definição de derivada em
. Primeiro calcule
:
Agora expanda com cuidado:
. Então
Subtraia
:
Passo 4
Divida a diferença por
(isso aparece na definição):
Factorando
do numerador para simplificar:
valendo sempre que
. Agora fazemos o limite quando
:
Portanto pelo cálculo direto usando a definição, a derivada é
.
Passo 5
Agora mostro a maneira rápida que você deve usar na prova (mesma resposta, menos trabalho): existem regras simples que economizam tempo:
- Regra do expoente (power rule): para um termo
com inteiro, temos Aqui, para isso dá . - Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes fatoram:
Aplique em: -
-
Somando:
coincidindo com o resultado pelo limite.
Passo 6
Pequenos lembretes práticos para a prova (dicas de amigo):
- Termo constante (por exemplo
) some na derivada: . - Coeficiente constante sai da derivada:
. - Para evitar erros, sempre escreva mentalmente cada passo: derivada de
é ; derivada de é ; some os resultados.
Segue um exemplo extra rápido: seentão . Pratique 5 casos assim e já pega o jeito — você consegue!