Exercício 5: Calcule as derivadas das funções abaixo.
g(x)=x^{2}+2 x

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede a sua derivada:
g(x)=x^{2}+2x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio (soma de termos em x).
  • Precisamos encontrar g'(x), isto é, a função derivada de g.
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada (essa é a base, boa ter decorada para entender o que estamos fazendo). Para uma função f, a derivada em x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando: h é um pequeno incremento em x; a fração \frac{f(x+h)-f(x)}{h} mede a taxa média de variação de f em torno de x; ao fazer h\to0 obtemos a taxa instantânea, que é a derivada. As variáveis aqui: x é o ponto onde derivamos, h é o incremento que tende a zero.

Passo 3

Aplique a definição de derivada em g(x)=x^{2}+2x. Primeiro calcule g(x+h):
g(x+h)=(x+h)^{2}+2(x+h).
Agora expanda com cuidado: (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}. Então
g(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h.
Subtraia g(x)=x^{2}+2x:
g(x+h)-g(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h\bigr)-\bigl(x^{2}+2x\bigr)=2xh+h^{2}+2h.

Passo 4

Divida a diferença por h (isso aparece na definição):
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}+2h}{h}.
Factorando h do numerador para simplificar:
\frac{2xh+h^{2}+2h}{h}=\frac{h(2x+h+2)}{h}=2x+h+2,
valendo sempre que h\neq0. Agora fazemos o limite quando h\to0:
g'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h+2)=2x+2.
Portanto pelo cálculo direto usando a definição, a derivada é 2x+2.

Passo 5

Agora mostro a maneira rápida que você deve usar na prova (mesma resposta, menos trabalho): existem regras simples que economizam tempo:
  • Regra do expoente (power rule): para um termo \,x^{n}\, com n inteiro, temos \,\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui, para x^{2} isso dá 2x.
  • Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes fatoram: \,\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)\bigr)=a\cdot f'(x).
    Aplique em g(x)=x^{2}+2x:
  • \frac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • \frac{d}{dx}2x=2\cdot\frac{d}{dx}x=2\cdot 1=2.
    Somando:
g'(x)=2x+2,
coincidindo com o resultado pelo limite.

Passo 6

Pequenos lembretes práticos para a prova (dicas de amigo):
  • Termo constante (por exemplo +7) some na derivada: \frac{d}{dx}7=0.
  • Coeficiente constante sai da derivada: \frac{d}{dx}(a\cdot x^{n})=a\cdot n x^{n-1}.
  • Para evitar erros, sempre escreva mentalmente cada passo: derivada de x^{2} é 2x; derivada de 2x é 2; some os resultados.
    Segue um exemplo extra rápido: se h(x)=3x^{2}-4x+7 então h'(x)=6x-4. Pratique 5 casos assim e já pega o jeito — você consegue!

Resposta

g'(x)=2x+2

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