Exercício 5: Calcule as derivadas das funções abaixo.
h(x)=x^{5}-x^{2}+30

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as derivadas da função fornecida. A função dada é \;h(x)=x^{5}-x^{2}+30.\n
Informações relevantes fornecidas:
\;h(x)=x^{5}-x^{2}+30 (é um polinômio, definido para todo \;x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (é importante entender direitinho): a regra do expoente (power rule). Ela diz que, para qualquer número real \;n, a derivada da função \;x^{n} em relação a \;x é
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Explicando: \;n é o expoente, e ao derivar você “traz o expoente para frente” multiplicando e diminui o expoente em uma unidade. Exemplo rápido: \;\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
Outra regra simples: a derivada de uma constante é zero. Ou seja,
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0
para qualquer constante \;C. Exemplo: \;\frac{d}{dx}(30)=0.
Também usamos linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes podem ser puxadas para fora da derivada:
\frac{d}{dx}\big(a f(x)+b g(x)\big)=a f'(x)+b g'(x).

Passo 3

Agora vamos derivar termo a termo a função \;h(x)=x^{5}-x^{2}+30 usando as regras acima.
Primeiro termo: aplicar a regra do expoente em \;x^{5}.
\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)=5x^{4}.
Expliquei: peguei \;n=5, multipliquei por x^{5-1}=x^{4}.

Passo 4

Segundo termo: derivar -x^{2}. Aqui há uma constante multiplicando x^{2} (a constante é -1), então:
\frac{d}{dx}\big(-x^{2}\big)=-\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=-2x.
Expliquei: para \;x^{2} uso \;n=2, fica 2x^{1}=2x, e o sinal negativo permanece.

Passo 5

Terceiro termo: derivada da constante \;30:
\frac{d}{dx}(30)=0.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (pela linearidade), obtemos a derivada primeira:
h'(x)=5x^{4}-2x+0
que simplifica para
h'(x)=5x^{4}-2x.
Se quiser, dá para fatorar em evidência \;x:
h'(x)=x\big(5x^{3}-2\big),
mas a forma padrão \;5x^{4}-2x já é a resposta direta.

Passo 7

Se for útil (às vezes o enunciado pede derivadas no plural), podemos também calcular a derivada segunda: deriva-se h'(x)=5x^{4}-2x novamente aplicando a regra do expoente termo a termo.
Derivada de 5x^{4}: \;5\cdot 4x^{3}=20x^{3}.
Derivada de -2x: -2.
Logo,
h''(x)=20x^{3}-2.

Resposta

h'(x)=5x^{4}-2x\n
h''(x)=20x^{3}-2

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