Exercício 5: Calcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as derivadas da função fornecida. A função dada é
.\n
Informações relevantes fornecidas:
(é um polinômio, definido para todo
).
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (é importante entender direitinho): a regra do expoente (power rule). Ela diz que, para qualquer número real
, a derivada da função
em relação a
é
Explicando:
é o expoente, e ao derivar você “traz o expoente para frente” multiplicando e diminui o expoente em uma unidade. Exemplo rápido:
.
Outra regra simples: a derivada de uma constante é zero. Ou seja,
para qualquer constante
. Exemplo:
.
Também usamos linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes podem ser puxadas para fora da derivada:
Passo 3
Agora vamos derivar termo a termo a função
usando as regras acima.
Primeiro termo: aplicar a regra do expoente em
.
Expliquei: peguei
, multipliquei por
.
Passo 4
Segundo termo: derivar
. Aqui há uma constante multiplicando
(a constante é
), então:
Expliquei: para
uso
, fica
, e o sinal negativo permanece.
Passo 5
Terceiro termo: derivada da constante
:
Passo 6
Somando as derivadas dos termos (pela linearidade), obtemos a derivada primeira:
que simplifica para
Se quiser, dá para fatorar em evidência
:
mas a forma padrão
já é a resposta direta.
Passo 7
Se for útil (às vezes o enunciado pede derivadas no plural), podemos também calcular a derivada segunda: deriva-se
novamente aplicando a regra do expoente termo a termo.
Derivada de
:
.
Derivada de :
.
Logo,
Derivada de
Logo,