Exercício 1. Calcule as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=e^{x / y} \ln \left(x^{2} / y\right), f_{y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[e^{\,x/y}\,\ln\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\bigr)\Bigr].
O conteúdo envolvido é derivada parcial, regra do produto e regra da cadeia aplicadas a uma exponencial e a um logaritmo.

Passo 2

Primeiro vemos que
f(x,y)=u(x,y)\;v(x,y),
onde
u(x,y)=e^{\,x/y}, \qquad v(x,y)=\ln\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\bigr).
Logo,
f_{y}=u_{y}\,v+u\,v_{y}.

Passo 3

Calculamos u_{y}=\partial_{y}e^{\,x/y}. A função interna é w(x,y)=x/y, cuja derivada em relação a y é
w_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)=-\frac{x}{y^{2}}.
Pela regra da cadeia,
u_{y} = e^{\,x/y}\cdot w_{y} = -\frac{x}{y^{2}}\,e^{\,x/y}.

Passo 4

Calculamos v_{y}=\partial_{y}\ln\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\bigr). Escrevendo
\ln\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\bigr)=\ln(x^{2})-\ln(y),
vemos que \ln(x^{2}) não depende de y e \partial_{y}[-\ln(y)]=-1/y. Assim,
v_{y} = -\frac{1}{y}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f_{y} = u_{y}\,v + u\,v_{y} = \Bigl(-\frac{x}{y^{2}}\,e^{\,x/y}\Bigr)\ln\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\bigr) + e^{\,x/y}\Bigl(-\frac{1}{y}\Bigr).

Passo 6

Fatorando e^{\,x/y} e agrupando termos,
f_{y} = e^{\,x/y}\Bigl(-\frac{x}{y^{2}}\ln\!\tfrac{x^{2}}{y}\;-\;\frac{1}{y}\Bigr) = -\,e^{\,x/y}\Bigl(\frac{x}{y^{2}}\ln\!\tfrac{x^{2}}{y}+\frac{1}{y}\Bigr).

Resposta

f_{y}(x,y) = -\,e^{\,x/y}\Bigl(\frac{x}{y^{2}}\ln\!\tfrac{x^{2}}{y}+\frac{1}{y}\Bigr).

Exercícios relacionados