- Questão 3 Considere o campo vetorial
e a superfície
formada pelas seis faces do cubo
de lado
orientada para fora do cubo. Seja
a face
do cubo, orientada no sentido contrário a
. Seja
a curva do espaço que delimita a superfície
, com orientação positiva, parametrizada como um caminho
.
3A.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo
3B.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo
.
3C.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho
.
3A.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo
3B.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo
3C.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho
Passo 1
O enunciado considera o campo vetorial
e o cubo
de lado
centrado na origem, cujas faces são
,
,
. A face
é aquela em
, com vetor normal
, e
é o contorno de
com orientação positiva. Pedem-se:
3A) o fluxo de através de
;
3B) o fluxo de através de toda a superfície
do cubo;
3C) o trabalho de ao longo de
.
Vamos usar fórmula de fluxo em superfície plana, Teorema da Divergência e Teorema de Green no plano .
3A) o fluxo de
3B) o fluxo de
3C) o trabalho de
Vamos usar fórmula de fluxo em superfície plana, Teorema da Divergência e Teorema de Green no plano
Passo 2
Para 3A, em
temos
e
. Assim
e, como
,
é constante. A área de
é
, logo
Passo 3
Para 3B, pelo Teorema da Divergência
Calculamos
O volume do cubo é
, então
Passo 4
Para 3C, como
ao longo de
, temos
e
Aplicando o Teorema de Green no plano
ao contorno orientado positivamente,
onde
é o quadrado
.
Resposta
3A.
3B.
3C.
3B.
3C.