• Questão 3 Considere o campo vetorial \vec{F}=\frac{x}{4} \vec{i}+2 z \vec{j}+y \vec{k} e a superfície S formada pelas seis faces do cubo V de lado 6(x= \pm 3, y= \pm 3, z= \pm 3) orientada para fora do cubo. Seja S_{1} a face x=-3 do cubo, orientada no sentido contrário a \vec{i}. Seja C_{1} a curva do espaço que delimita a superfície S_{1}, com orientação positiva, parametrizada como um caminho r(t).
    3A.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo \iint_{S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{N} d S
    3B.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo \oiint_{S} \vec{F} \cdot \vec{N} d S.
    3C.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho \oint_{C_{1}} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado considera o campo vetorial \vec{F}=\frac{x}{4}\vec{i}+2z\vec{j}+y\vec{k} e o cubo V de lado 6 centrado na origem, cujas faces são x=\pm3, y=\pm3, z=\pm3. A face S_{1} é aquela em x=-3, com vetor normal \vec{N}=-\vec{i}, e C_{1} é o contorno de S_{1} com orientação positiva. Pedem-se:
3A) o fluxo de \vec{F} através de S_{1};
3B) o fluxo de \vec{F} através de toda a superfície S do cubo;
3C) o trabalho de \vec{F} ao longo de C_{1}.
Vamos usar fórmula de fluxo em superfície plana, Teorema da Divergência e Teorema de Green no plano y\!-\!z.

Passo 2

Para 3A, em S_{1} temos x=-3 e \vec{N}=-\vec{i}. Assim
\vec{F}\cdot\vec{N}=\Bigl(\tfrac{x}{4}\vec{i}+2z\vec{j}+y\vec{k}\Bigr)\!\cdot(-\vec{i})=-\frac{x}{4}
e, como x=-3, \vec{F}\cdot\vec{N}=3/4 é constante. A área de S_{1} é 6\times6=36, logo
\iint_{S_{1}}\vec{F}\cdot\vec{N}\,dS=\frac{3}{4}\times36=27.

Passo 3

Para 3B, pelo Teorema da Divergência
\oiint_{S}\vec{F}\cdot\vec{N}\,dS=\iiint_{V}\bigl(\nabla\!\cdot\!\vec{F}\bigr)\,dV.
Calculamos
\nabla\!\cdot\!\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x}{4}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}(2z) +\frac{\partial}{\partial z}(y) =\frac14+0+0=\frac14.
O volume do cubo é 6^{3}=216, então
\oiint_{S}\vec{F}\cdot\vec{N}\,dS=\frac14\times216=54.

Passo 4

Para 3C, como x=-3 ao longo de C_{1}, temos d\vec{r}=(0,dy,dz) e
\vec{F}\cdot d\vec{r} =2z\,dy + y\,dz.
Aplicando o Teorema de Green no plano y\!-\!z ao contorno orientado positivamente,
\oint_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial}{\partial y}(y)-\frac{\partial}{\partial z}(2z)\Bigr)\,dA =\iint_{D}(1-2)\,dA =-1\cdot36=-36,
onde D é o quadrado \{(y,z)\mid -3\le y,z\le3\}.

Resposta

3A. \displaystyle 27
3B. \displaystyle 54
3C. \displaystyle -36

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