Use um SAC (sistema algébrico computacional) para seguir os passos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146.
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite L ?
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro N tal que \left|a_{n}-L\right| \leq 0,01 para n \geq N. Quão longe na sequência você deve chegar para que os termos estejam a menos de 0,0001 dc L ?
a_{n}=\sqrt[n]{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
a_{n} = \sqrt[n]{n} = n^{1/n},
calculando os 25 primeiros termos, fazendo um gráfico, discutindo se ela é limitada e se converge, e, em caso afirmativo, encontrando o limite L. Depois, se houver convergência, devemos achar um inteiro N tal que
\lvert a_{n} - L\rvert \le 0,01 \quad\text{para }n\ge N
e também para a tolerância 0,0001.
Conteúdo: propriedades de sequências, teste de convergência via logaritmo e estimação de N.

Passo 2

Calculemos numericamente os 25 primeiros termos:
\begin{aligned} a_{1}&=1^{1/1}=1,\\\ a_{2}&=2^{1/2}\approx1,4142,\\\ a_{3}&=3^{1/3}\approx1,4422,\\\ a_{4}&=4^{1/4}\approx1,4142,\\\ a_{5}&=5^{1/5}\approx1,3797,\\\ &\;\;\vdots\\\ a_{25}&=25^{1/25}\approx1,1190. \end{aligned}
Fazendo um gráfico (por exemplo num SAC) de n\mapsto a_{n} para 1\le n\le25, vemos que a_{n} cresce até n=3 e depois decresce lentamente, aproximando-se de 1.

Passo 3

Observamos que
  1. a_{n}>0 para todo n.
  2. O valor máximo ocorre em n=3 e vale a_{3}\approx1,4422, logo a sequência é limitada inferiormente por 1 (na verdade por 0) e superiormente por, digamos, 2.
  3. A partir de n\ge4, a_{n} decresce para valores cada vez mais próximos de 1.

Passo 4

Para achar o limite, usemos logaritmo:
\ln(a_{n}) = \ln\bigl(n^{1/n}\bigr) = \frac{\ln n}{n}.
Como \ln n /n \to 0 quando n\to\infty, temos
\ln(a_{n})\to0 \;\Longrightarrow\; a_{n} = e^{\ln(a_{n})}\to e^0 = 1.
Logo a sequência converge e
L = \lim_{n\to\infty}a_{n} = 1.

Passo 5

Queremos \lvert a_{n}-1\rvert \le0,01, ou seja
n^{1/n} \le 1,01.
Equivalente a
\frac{\ln n}{n} \le \ln(1,01)\approx0,00995.
Resolvendo numericamente (testando valores de n), encontra-se que para n\ge653 já vale
\frac{\ln n}{n} \le0,00995 \quad\Longrightarrow\quad \lvert a_{n}-1\rvert \le0,01.
Portanto, pode-se tomar N=653.

Passo 6

Para a tolerância 0,0001 fazemos o mesmo:
\frac{\ln n}{n} \le \ln(1,0001)\approx0,000099995.
Resolvendo numericamente, obtemos que é preciso chegar a cerca de n=117\,000 para
\lvert a_{n}-1\rvert \le0,0001.

Resposta

a) Os 25 primeiros termos vão de a_{1}=1 até a_{25}\approx1,1190. A sequência é limitada (por baixo por 0 e por cima por cerca de 1,442) e converge para L=1.
b) Para \lvert a_{n}-1\rvert \le0,01 basta n\ge653. Para \lvert a_{n}-1\rvert \le0,0001 é necessário n\approx117\,000.

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