Use um SAC (sistema algébrico computacional) para seguir os passos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146.
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite
?
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro
tal que
para
. Quão longe na sequência você deve chegar para que os termos estejam a menos de 0,0001 dc
?
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
calculando os 25 primeiros termos, fazendo um gráfico, discutindo se ela é limitada e se converge, e, em caso afirmativo, encontrando o limite
. Depois, se houver convergência, devemos achar um inteiro
tal que
e também para a tolerância
.
Conteúdo: propriedades de sequências, teste de convergência via logaritmo e estimação de .
Conteúdo: propriedades de sequências, teste de convergência via logaritmo e estimação de
Passo 2
Calculemos numericamente os 25 primeiros termos:
Fazendo um gráfico (por exemplo num SAC) de
para
, vemos que
cresce até
e depois decresce lentamente, aproximando-se de 1.
Passo 3
Observamos que
-
para todo . - O valor máximo ocorre em
e vale , logo a sequência é limitada inferiormente por 1 (na verdade por 0) e superiormente por, digamos, 2. - A partir de
, decresce para valores cada vez mais próximos de 1.
Passo 4
Para achar o limite, usemos logaritmo:
Como
quando
, temos
Logo a sequência converge e
Passo 5
Queremos
, ou seja
Equivalente a
Resolvendo numericamente (testando valores de
), encontra-se que para
já vale
Portanto, pode-se tomar
.
Passo 6
Para a tolerância
fazemos o mesmo:
Resolvendo numericamente, obtemos que é preciso chegar a cerca de
para
Resposta
a) Os 25 primeiros termos vão de
até
. A sequência é limitada (por baixo por 0 e por cima por cerca de
) e converge para
.
b) Para basta
. Para
é necessário
.
b) Para