- Questão 2 Considere a superfície parametrizada pela seguinte função vetorial:
2A.(0.5pt) Obtenha uma equação cartesiana (isto é, em
) para essa superfície, e identifique-a pelo seu nome mais comum.
2B.(1.0pt) Obtenha os vetores
e
que determinam o plano tangente à superfície quando
e o respectivo ponto
do espaço.
2C.(1.0pt) Obtenha um vetor unitário
normal à superfície no ponto
definido no ítem anterior (qq orientação).
2D. (0.5pt) Obtenha uma equação cartesiana para o plano tangente à superfície no ponto
.
2B.(1.0pt) Obtenha os vetores
2C.(1.0pt) Obtenha um vetor unitário
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície parametrizada por
com
,
.
Precisamos:
Precisamos:
- 2A) achar a equação cartesiana
e identificar a superfície; - 2B) calcular
, em e o ponto ; - 2C) obter um vetor normal unitário
em ; - 2D) escrever a equação do plano tangente em
.
Passo 2
(2A) Seja
Então
,
,
.
Como , segue
Como
Essa é a equação de um cone duplo com eixo ao longo do eixo
.
Passo 3
(2B) Calculemos as derivadas parciais:
Em
temos
,
, logo
O ponto
é
Passo 4
(2C) O vetor normal (não unitário) é
Seu módulo é
,
então um normal unitário é
então um normal unitário é
Passo 5
(2D) A equação do plano tangente em
usa
e
:
que se simplifica para
Resposta
2A.
, um cone duplo com eixo em
.
2B. ,
,
.
2C. .
2D. .
2B.
2C.
2D.