• Questão 2 Considere a superfície parametrizada pela seguinte função vetorial:
\vec{r}(u, v)=2 v \vec{i}+3 v \operatorname{sen}(u) \vec{j}+4 v \cos (u) \vec{k}, \quad-3 \leq v \leq 3 ; 0 \leq u \leq 2 \pi
2A.(0.5pt) Obtenha uma equação cartesiana (isto é, em x, y, z ) para essa superfície, e identifique-a pelo seu nome mais comum.
2B.(1.0pt) Obtenha os vetores \vec{r}_{u} e \vec{r}_{v} que determinam o plano tangente à superfície quando (u, v)=\left(\frac{\pi}{3}, 1\right) e o respectivo ponto P_{0} do espaço.
2C.(1.0pt) Obtenha um vetor unitário \vec{N} normal à superfície no ponto P_{0} definido no ítem anterior (qq orientação).
2D. (0.5pt) Obtenha uma equação cartesiana para o plano tangente à superfície no ponto P_{0}.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície parametrizada por
\vec r(u,v)=2v\,\vec i+3v\sin(u)\,\vec j+4v\cos(u)\,\vec k,
com -3\le v\le3, 0\le u\le2\pi.
Precisamos:
  • 2A) achar a equação cartesiana F(x,y,z)=0 e identificar a superfície;
  • 2B) calcular \vec r_u, \vec r_v em (u,v)=(\pi/3,1) e o ponto P_0;
  • 2C) obter um vetor normal unitário \vec N em P_0;
  • 2D) escrever a equação do plano tangente em P_0.

Passo 2

(2A) Seja
x=2v,\quad y=3v\sin u,\quad z=4v\cos u.
Então v=\tfrac x2,
\sin u=\frac{y}{3v}=\frac{2y}{3x},
\cos u=\frac{z}{4v}=\frac{z}{2x}.
Como \sin^2u+\cos^2u=1, segue
\Bigl(\frac{2y}{3x}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{z}{2x}\Bigr)^2=1 \;\Longrightarrow\; 16y^2+9z^2=36x^2.
Essa é a equação de um cone duplo com eixo ao longo do eixo x.

Passo 3

(2B) Calculemos as derivadas parciais:
\vec r_u=(0,\;3v\cos u,\;-4v\sin u),\qquad \vec r_v=(2,\;3\sin u,\;4\cos u).
Em (u,v)=(\pi/3,1) temos
\sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2}, \cos(\pi/3)=\tfrac12, logo
\vec r_u\bigl(\tfrac\pi3,1\bigr) =\bigl(0,\;\tfrac32,\;-2\sqrt3\bigr),\qquad \vec r_v\bigl(\tfrac\pi3,1\bigr) =\Bigl(2,\;\tfrac{3\sqrt3}{2},\;2\Bigr).
O ponto P_0=\vec r(\tfrac\pi3,1) é
P_0=\Bigl(2,\;\tfrac{3\sqrt3}{2},\;2\Bigr).

Passo 4

(2C) O vetor normal (não unitário) é
\vec n =\vec r_u\times\vec r_v =(12,\;-4\sqrt3,\;-3).
Seu módulo é \|\vec n\|=\sqrt{12^2+(-4\sqrt3)^2+(-3)^2}=\sqrt{201},
então um normal unitário é
\vec N =\frac{1}{\sqrt{201}}\,(12,\;-4\sqrt3,\;-3).

Passo 5

(2D) A equação do plano tangente em P_0 usa \vec n e P_0:
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; 12(x-2)-4\sqrt3\Bigl(y-\tfrac{3\sqrt3}{2}\Bigr)-3(z-2)=0,
que se simplifica para
12x-4\sqrt3\,y-3z=0.

Resposta

2A. \,16y^2+9z^2=36x^2, um cone duplo com eixo em x.
2B. \vec r_u(\tfrac\pi3,1)=(0,\tfrac32,-2\sqrt3),
\vec r_v(\tfrac\pi3,1)=(2,\tfrac{3\sqrt3}{2},2),
P_0=(2,\tfrac{3\sqrt3}{2},2).
2C. \displaystyle\vec N=\frac1{\sqrt{201}}\,(12,\,-4\sqrt3,\,-3).
2D. 12x-4\sqrt3\,y-3z=0.

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