Exercício 1. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y :
f(x, y, z)=x y ln (x^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y,z)=x,y,ln(x^2+z^2). O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, usando regra do produto e regra da cadeia para logaritmos.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, considere u(x)=x,y e v(x)=ln(x^2+z^2). Aplicamos a regra do produto: ddx(u,v)=u',v+u,v'.

Passo 3

Calcule u' e v': como u(x)=x,y, temos u'=y. Para v(x)=ln(x^2+z^2), usamos regra da cadeia:
v' = 1x^2+z^2cdot 2x = 2xx^2+z^2

Passo 4

Substituindo em ddx(u,v)=u',v+u,v', obtemos
partial fpartial x = y,ln(x^2+z^2) + x,ycdot2xx^2+z^2 = y,ln(x^2+z^2) + 2x^2,yx^2+z^2

Passo 5

Para partial fpartial y, note que x e z são constantes em relação a y. Então
partial fpartial y = x,ln(x^2+z^2)cdot ddy(y) = x,ln(x^2+z^2)

Resposta

partial fpartial x = yln(x^2+z^2) + 2x^2yx^2+z^2, partial fpartial y = xln(x^2+z^2).

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