Exercício 0.5. Seja A_{n \times n} e R_{n \times n} matrizes, onde R é invertível. Mostre que
\left(R A R^{-1}\right)^{2}=R A^{2} R^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas matrizes A e R de ordem n, com R invertível, vale
\bigl(R\,A\,R^{-1}\bigr)^{2} \;=\; R\,A^{2}\,R^{-1}.
O que vamos usar é a associatividade do produto de matrizes e a propriedade R^{-1}R=I, onde I é a matriz identidade.

Passo 2

Começamos reescrevendo o quadrado de R\,A\,R^{-1} como um produto de duas cópias dessa mesma expressão:
\bigl(R\,A\,R^{-1}\bigr)^{2} =\bigl(R\,A\,R^{-1}\bigr)\,\bigl(R\,A\,R^{-1}\bigr).

Passo 3

Aplicando a associatividade do produto de matrizes, podemos agrupar como
\bigl(R\,A\,R^{-1}\bigr)\,\bigl(R\,A\,R^{-1}\bigr) =R\,A\,\bigl(R^{-1}R\bigr)\,A\,R^{-1}.

Passo 4

Como R^{-1}R=I, temos
R\,A\,\bigl(R^{-1}R\bigr)\,A\,R^{-1} =R\,A\,I\,A\,R^{-1} =R\,A^{2}\,R^{-1}.

Resposta

\bigl(R\,A\,R^{-1}\bigr)^{2}=R\,A^{2}\,R^{-1}.

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