Exercício 0.6. Considere as seguintes equações paramétricas das retas abaixo.
Reta 1: \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right) \quad Reta 2: \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).
Encontre a interseção delas se existir.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 em forma paramétrica e pede o ponto de interseção, se existir. O conteúdo que vamos usar é resolução de sistema linear obtido ao igualar as coordenadas das retas.

Passo 2

Escrevemos as retas em coordenadas e igualamos para encontrar parâmetros t e u:
Reta 1:
(x,y,z) = (1+t,\;0,\;1+t).
Reta 2:
(x,y,z) = (1+u,\;u,\;u).
Igualando as três componentes, obtemos o sistema
1 + t = 1 + u,\quad 0 = u,\quad 1 + t = u.

Passo 3

Da segunda equação 0 = u segue u = 0. Substituindo na primeira, 1 + t = 1 + 0 t = 0.

Passo 4

Verificamos na terceira equação: nela teríamos 1 + t = u, ou seja 1 + 0 = 0, o que é falso ( 1\neq0). Isso mostra que não há valores de t e u satisfazendo todas as três igualdades simultaneamente.

Resposta

As retas não se intersectam; não existe ponto de interseção.

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