Exercício 1. Calcule os determinantes abaixo.
|cccc3 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 1 0 & 9 & 2 & -3 1 & 7 & 4 & 4|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = 3 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 1 0 & 9 & 2 & -3 1 & 7 & 4 & 4 ,
ou seja, vamos usar expansão por cofatores (Laplace) para calcular det A.

Passo 2

Expandindo por cofatores ao longo da primeira linha, só temos entradas não nulas em ,a11=3 e ,a13=1. Assim,
det A =3cdotdet M11 +1cdotdet M13,
onde M11 é o menor obtido removendo linha 1 e coluna 1, e M13 é o menor removendo linha 1 e coluna 3.

Passo 3

O menor M11 é
M11 = 2 & 1 & 1 9 & 2 & -3 7 & 4 & 4
Para det M11 usamos a regra de Sarrus ou expansão:
det M11 =2,(2cdot4 -(-3)cdot4) -1,(9cdot4 -(-3)cdot7) +1,(9cdot4 -2cdot7) =2,(8+12)-1,(36+21)+(36-14) =40-57+22 =5

Passo 4

O menor M13 é
M13 = 0 & 2 & 1 0 & 9 & -3 1 & 7 & 4
Expandindo pela primeira coluna (só o elemento 1 em posição (3,1) é não nulo):
det M13 =1cdot(-1)^3+1det2&19&-3 =det2&19&-3 =2cdot(-3)-1cdot9 =-6-9 =-15

Passo 5

Substituindo em det A:
det A =3cdot5 + 1cdot(-15) =15-15 =0

Resposta

det A = 0.

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