Exercício 1. Calcule os determinantes abaixo.
|ccccc1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = 1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1
O conteúdo aqui é determinantes de matrizes em bloco triangular: quando uma matriz tem a forma
A & B [6pt] 0 & C ,
o seu determinante é det(A)cdotdet(C).]

Passo 2

Identificamos os blocos de M:
A é o sub-bloco 2times2 no canto superior esquerdo
A = 1 & 3 [3pt] -2 & -7,
e C é o sub-bloco 3times3 no canto inferior direito, formado pelas colunas 3,4, 5 e linhas 3,4, 5:
C = 1 & 0 & 1 [3pt] 2 & 1 & 1 [3pt] 0 & 1 & 1 ]

Passo 3

Pela propriedade de matriz em bloco triangular, temos
det(M) ;=;det(A),cdot,det(C)

Passo 4

Calculando det(A):
det(A) = 1cdot(-7) ;-; 3cdot(-2) ;=;-7 -(-6) = -1

Passo 5

Calculando det(C) via desenvolvimento pela primeira linha:
det(C) = 1cdotdet!1 & 1 [3pt]1 & 1 - 0cdot(cdots) + 1cdotdet!2 & 1 [3pt]0 & 1 = 1cdot(1cdot1 - 1cdot1) + 1cdot(2cdot1 - 1cdot0) = 0 + 2 = 2 ]

Resposta

det(M) = (-1)times 2 = -2

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