Exercício 1. Calcule os determinantes abaixo.
|cccc9 & -2 & 10 & 3 2 & 1 & 0 & 4 -1 & -2 & 1 & 3 5 & -5 & 0 & 2|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = 9 & -2 & 10 & 3 [6pt] 2 & 1 & 0 & 4 [6pt] -1 & -2 & 1 & 3 [6pt] 5 & -5 & 0 & 2
O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 4times4. Para simplificar, vamos usar expansão por cofactores (menores complementares) ao longo da coluna que tem mais zeros — a terceira coluna tem dois zeros, o que facilita.]

Passo 2

Expandindo det(A) pela terceira coluna, os únicos termos não-nulos vêm das posições (1,3) e (3,3). Lembrando que o sinal do cofactor é (-1)^i+j, temos
det(A) = (-1)^1+3cdot 10cdot M1,3 +(-1)^3+3cdot 1cdot M3,3 = 10,M1,3 + 1,M3,3,
onde
M1,3 é o determinante do 3times 3 obtido eliminando linha 1 e coluna 3, e
M3,3 é o determinante do 3times 3 obtido eliminando linha 3 e coluna 3.

Passo 3

O menor M1,3 é
M1,3 = det 2 & 1 & 4 [4pt] -1 & -2 & 3 [4pt] 5 & -5 & 2
Aplicando a regra de Sarrus:
soma dos produtos das diagonais principais &= 2cdot(-2)cdot2 + 1cdot3cdot5 + 4cdot(-1)cdot(-5) = -8 + 15 + 20 = 27, soma dos produtos das diagonais secundárias &= 4cdot(-2)cdot5 + 2cdot3cdot(-5) + 1cdot(-1)cdot2 = -40 -30 -2 = -72, M1,3 &= 27 - (-72) = 99 á]

Passo 4

O menor M3,3 é
M3,3 = det 9 & -2 & 3 [4pt] 2 & 1 & 4 [4pt] 5 & -5 & 2
De novo pela regra de Sarrus:
principais&: 9cdot1cdot2 + (-2)cdot4cdot5 + 3cdot2cdot(-5) = 18 -40 -30 = -52, secundárias&: 3cdot1cdot5 + 9cdot4cdot(-5) + (-2)cdot2cdot2 = 15 -180 -8 = -173, M3,3 &= -52 - (-173) = 121 á]

Passo 5

Voltando à expansão do Passo 2,
det(A) = 10cdot M1,3 + 1cdot M3,3 = 10cdot 99 + 1cdot 121 = 990 + 121 = 1111

Resposta

1111

Exercícios relacionados