Exercício 1. Calcule os determinantes abaixo.
(k)|cccc3 & 3 & 30 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 2 & 10 & 3 & 2|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4times4. O conteúdo aqui é “expansão por cofactores” (ou “regra de Laplace”), em que escolhemos uma linha ou coluna com entradas simples (por exemplo com zeros) para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos expandir o determinante pela segunda linha, pois nela há um elemento nulo ( a23=0). A fórmula de Laplace diz:
det(A) =sumj=1^4(-1)^2+j,a2j,det(M2j) =a21C21+a22C22+a23C23+a24C24,
onde C2j=(-1)^2+jdet(M2j) e M2j é a matriz obtida removendo a linha 2 e a coluna j.

Passo 3

Calculemos os cofactores não nulos:
  1. Para j=1: a21=2 e
M21= 3 & 30 & 5 1 & -3 & 0 10& 3 & 2 =3,( -3cdot2-0cdot3)-30,(1cdot2-0cdot10)+5,(1cdot3-(-3)cdot10) = -18-60+165=87,
então C21=(-1)^3cdot87=-87 e a21C21=2cdot(-87)=-174.
  1. Para j=2: a22=2 e
M22= 3 & 30 & 5 4 & -3 & 0 2 & 3 & 2 =3,(-3cdot2-0cdot3)-30,(4cdot2-0cdot2)+5,(4cdot3-(-3)cdot2) =-18-240+90=-168,
logo C22=(-1)^4cdot(-168)=-168 e a22C22=2cdot(-168)=-336.

Passo 4

Ainda falta j=4 (para o qual a24=-2):
M24= 3 & 3 & 30 4 & 1 & -3 2 & 10 & 3 =3,(1cdot3-(-3)cdot10)-3,(4cdot3-(-3)cdot2)+30,(4cdot10-1cdot2) =99-54+1140=1185,
portanto C24=(-1)^6cdot1185=1185 e a24C24=-2cdot1185=-2370.
Somando as contribuições:
det(A)=-174+(-336)+0+(-2370)=-2880

Resposta

-2880

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