Exercício 1. Calcule os determinantes abaixo.
|ccccc4 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 3 & 3 & -1 & 0 1 & 2 & 4 & 2 & 3 9 & 4 & 6 & 2 & 3 2 & 2 & 4 & 2 & 3|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 5x5. Determinantes são importantes em várias áreas da matemática, como encontrar inversas de matrizes e resolver sistemas de equações. Para calcular, vamos usar métodos de simplificação, como operações com linhas, que facilitam o cálculo sem precisar expandir toda a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zeros) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Então, nossa estratégia é transformar a matriz original em uma matriz triangular usando operações com linhas, que não mudam o valor do determinante.

Passo 3

Vamos começar com a matriz original:
4 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 3 & 3 & -1 & 0 1 & 2 & 4 & 2 & 3 9 & 4 & 6 & 2 & 3 2 & 2 & 4 & 2 & 3
Nosso primeiro passo é criar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que é 4).

Passo 4

Para zerar os elementos abaixo de 4 na primeira coluna, vamos fazer as seguintes operações:
  • Linha2 = Linha2 - (3/4)*Linha1
  • Linha3 = Linha3 - (1/4)*Linha1
  • Linha4 = Linha4 - (9/4)*Linha1
  • Linha5 = Linha5 - (2/4)*Linha1
Vamos calcular cada uma:
Linha2:
3 - 34 times 4 = 3 - 3 = 0
3 - 34 times 0 = 3 - 0 = 3
3 - 34 times 0 = 3 - 0 = 3
-1 - 34 times 1 = -1 - 34 = -74
0 - 34 times 0 = 0 - 0 = 0
Linha3:
1 - 14 times 4 = 1 - 1 = 0
2 - 14 times 0 = 2 - 0 = 2
4 - 14 times 0 = 4 - 0 = 4
2 - 14 times 1 = 2 - 14 = 74
3 - 14 times 0 = 3 - 0 = 3
Linha4:
9 - 94 times 4 = 9 - 9 = 0
4 - 94 times 0 = 4 - 0 = 4
6 - 94 times 0 = 6 - 0 = 6
2 - 94 times 1 = 2 - 94 = -14
3 - 94 times 0 = 3 - 0 = 3
Linha5:
2 - 24 times 4 = 2 - 2 = 0
2 - 24 times 0 = 2 - 0 = 2
4 - 24 times 0 = 4 - 0 = 4
2 - 24 times 1 = 2 - 24 = 32
3 - 24 times 0 = 3 - 0 = 3
A matriz atualizada fica:
4 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 3 & -74 & 0 0 & 2 & 4 & 74 & 3 0 & 4 & 6 & -14 & 3 0 & 2 & 4 & 32 & 3

Passo 5

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna para criar zeros abaixo do segundo elemento (que é 3). Vamos usar a segunda linha para isso.
As operações serão:
  • Linha3 = Linha3 - (2/3)*Linha2
  • Linha4 = Linha4 - (4/3)*Linha2
  • Linha5 = Linha5 - (2/3)*Linha2
Vamos calcular cada uma:
Linha3:
0 - 23 times 0 = 0
2 - 23 times 3 = 2 - 2 = 0
4 - 23 times 3 = 4 - 2 = 2
74 - 23 times (-74) = 74 + 1412 = 74 + 76 = 2112 + 1412 = 3512
3 - 23 times 0 = 3
Linha4:
0 - 43 times 0 = 0
4 - 43 times 3 = 4 - 4 = 0
6 - 43 times 3 = 6 - 4 = 2
-14 - 43 times (-74) = -14 + 2812 = -14 + 73 = -312 + 2812 = 2512
3 - 43 times 0 = 3
Linha5:
0 - 23 times 0 = 0
2 - 23 times 3 = 2 - 2 = 0
4 - 23 times 3 = 4 - 2 = 2
32 - 23 times (-74) = 32 + 1412 = 32 + 76 = 96 + 76 = 166 = 83
3 - 23 times 0 = 3
A matriz agora fica:
4 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 3 & -74 & 0 0 & 0 & 2 & 3512 & 3 0 & 0 & 2 & 2512 & 3 0 & 0 & 2 & 83 & 3

Passo 6

Seguimos para a terceira coluna. Queremos criar zeros abaixo do terceiro elemento (que é 2) usando a terceira linha.
As operações serão:
  • Linha4 = Linha4 - (2/2)*Linha3 = Linha4 - Linha3
  • Linha5 = Linha5 - (2/2)*Linha3 = Linha5 - Linha3
Calculando:
Linha4:
0 - 0 = 0
0 - 0 = 0
2 - 2 = 0
2512 - 3512 = -1012 = -56
3 - 3 = 0
Linha5:
0 - 0 = 0
0 - 0 = 0
2 - 2 = 0
83 - 3512 = 3212 - 3512 = -312 = -14
3 - 3 = 0
Agora, nossa matriz está:
4 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 3 & -74 & 0 0 & 0 & 2 & 3512 & 3 0 & 0 & 0 & -56 & 0 0 & 0 & 0 & -14 & 0

Passo 7

Finalmente, vamos para a quarta coluna. Nosso objetivo é criar um zero abaixo do quarto elemento (que é -56) usando a quarta linha.
A operação será:
  • Linha5 = Linha5 - ( -14/ -56) * Linha4
Simplificando o coeficiente:
-14-56 = 14 times 65 = 620 = 310
Então:
Linha5:
0 - 310 times 0 = 0
0 - 310 times 0 = 0
0 - 310 times 0 = 0
-14 - 310 times (-56) = -14 + 1560 = -14 + 14 = 0
0 - 310 times 0 = 0
A matriz triangular fica:
4 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 3 & -74 & 0 0 & 0 & 2 & 3512 & 3 0 & 0 & 0 & -56 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

Agora que alcançamos uma matriz triangular, para calcular o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:
4 times 3 times 2 times (-56) times 0 = 0

Resposta

O determinante da matriz é 0.

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