a) Verifique se det(A+B)=det A+det B;
b) Verifique se det(A cdot B)=(det A)(det B).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre matrizes e determinantes. Mais especificamente, precisamos verificar duas coisas:
a) Se o determinante da soma das matrizes A e B é igual à soma dos determinantes de A e B , ou seja, verificar se det(A+B) = det A + det B .
b) Se o determinante do produto das matrizes A e B é igual ao produto dos determinantes de A e B , ou seja, verificar se det(A cdot B) = (det A)(det B) .
Para isso, vamos precisar saber como somar matrizes, multiplicar matrizes e calcular determinantes de matrizes 3 times 3 .
Agora, precisamos calcular det(A+B) , det A e det B .
Calculando det A :
A = 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, vamos calcular o determinante:
det A = 4 times (0 times (-4) - 1 times 2) - (-1) times (3 times (-4) - 1 times 7) + 3 times (3 times 2 - 0 times 7)
= 4 times (0 + (-2)) - (-1) times (-12 -7) + 3 times (6 - 0)
= 4 times (-2) - (-1) times (-19) + 3 times 6
= -8 - 19 + 18 = -9
Calculando det B :
B = 2 & 6 & 8 2 & 9 & 12 -1 & -2 & -3
det B = 2 times (9 times (-3) - 12 times (-2)) - 6 times (2 times (-3) - 12 times (-1)) + 8 times (2 times (-2) - 9 times (-1))
= 2 times (-27 + 24) - 6 times (-6 +12) + 8 times (-4 +9)
= 2 times (-3) - 6 times 6 + 8 times 5
= -6 - 36 + 40 = -2
Calculando det(A+B) :
A + B = 6 & 5 & 11 5 & 9 & 13 6 & 0 & -7
det(A+B) = 6 times (9 times (-7) - 13 times 0) - 5 times (5 times (-7) - 13 times 6) + 11 times (5 times 0 - 9 times 6)
= 6 times (-63 -0) - 5 times (-35 -78) + 11 times (0 -54)
= 6 times (-63) - 5 times (-113) + 11 times (-54)
= -378 + 565 - 594 = -407
Agora, vamos verificar a igualdade:
det(A+B) = -407 det A + det B = -9 + (-2) = -11
Claramente, -407 neq -11 , então a igualdade não se sustenta.
Passo 3
Parte b) Verificar se det(A cdot B) = (det A)(det B)
Aqui, precisamos multiplicar as matrizes A e B , calcular o determinante do resultado e comparar com o produto dos determinantes de A e B que já calculamos.
Multiplicando A por B :
A cdot B = 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4 times 2 & 6 & 8 2 & 9 & 12 -1 & -2 & -3 = (4 times 2) + (-1 times 2) + (3 times -1) & (4 times 6) + (-1 times 9) + (3 times -2) & (4 times 8) + (-1 times 12) + (3 times -3) (3 times 2) + (0 times 2) + (1 times -1) & (3 times 6) + (0 times 9) + (1 times -2) & (3 times 8) + (0 times 12) + (1 times -3) (7 times 2) + (2 times 2) + (-4 times -1) & (7 times 6) + (2 times 9) + (-4 times -2) & (7 times 8) + (2 times 12) + (-4 times -3)
Calculando cada elemento:
Primeira linha:
(4 times 2) + (-1 times 2) + (3 times -1) = 8 -2 -3 = 3 (4 times 6) + (-1 times 9) + (3 times -2) = 24 -9 -6 = 9 (4 times 8) + (-1 times 12) + (3 times -3) = 32 -12 -9 = 11
Segunda linha:
(3 times 2) + (0 times 2) + (1 times -1) = 6 + 0 -1 = 5 (3 times 6) + (0 times 9) + (1 times -2) = 18 + 0 -2 = 16 (3 times 8) + (0 times 12) + (1 times -3) = 24 + 0 -3 = 21
Terceira linha:
(7 times 2) + (2 times 2) + (-4 times -1) = 14 +4 +4 = 22 (7 times 6) + (2 times 9) + (-4 times -2) = 42 +18 +8 = 68 (7 times 8) + (2 times 12) + (-4 times -3) = 56 +24 +12 = 92
Então,
A cdot B = 3 & 9 & 11 5 & 16 & 21 22 & 68 & 92
Calculando det(A cdot B) :
det(A cdot B) = 3 times (16 times 92 - 21 times 68) - 9 times (5 times 92 - 21 times 22) + 11 times (5 times 68 - 16 times 22)
Calculando passo a passo:
16 times 92 = 1472 21 times 68 = 1428 5 times 92 = 460 21 times 22 = 462 5 times 68 = 340 16 times 22 = 352
Substituindo:
= 3 times (1472 - 1428) - 9 times (460 - 462) + 11 times (340 - 352) = 3 times 44 - 9 times (-2) + 11 times (-12) = 132 + 18 - 132 = 18
Agora, vamos calcular o produto dos determinantes de A e B :
(det A)(det B) = (-9) times (-2) = 18
Portanto,
det(A cdot B) = 18 = (det A)(det B)
Resposta
a) Não, det(A+B) neq det A + det B .
b) Sim, det(A cdot B) = (det A)(det B) .