Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se v1 e v2 são autovetores LI, então eles correspondem a autovalores distintos.

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a afirmação: “Se vec v1 e vec v2 são autovetores linearmente independentes, então eles correspondem a autovalores distintos.” O conteúdo é autovalores e autovetores de uma transformação linear ou de uma matriz.

Passo 2

Lembrando a teoria, sabemos que autovetores associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes. Porém, o recíproco—isto é, autovetores linearmente independentes necessariamente terem autovalores diferentes—não é garantido. Em particular, se um autovalor tiver multiplicidade geométrica maior que 1, podemos escolher dois autovetores independentes que correspondem ao mesmo autovalor.

Passo 3

Contra-exemplo simples: seja a matriz identidade em R^2,
I = 1 & 0[6pt] 0 & 1
Quase todo vetor em R^2 é autovetor de I com autovalor lambda=1. Por exemplo,
v1 = 1[3pt] 0, v2 = 0[3pt] 1
são linearmente independentes e ambos satisfazem
I,vi = 1 cdot vi, i=1,2
Logo, v1 e v2 são autovetores LI que correspondem ao mesmo autovalor lambda=1.]

Passo 4

Concluímos que há autovetores LI que partilham o mesmo autovalor, então a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados