Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se
e
são autovetores LI, então eles correspondem a autovalores distintos.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se vale a afirmação: “Se
e
são autovetores linearmente independentes, então eles correspondem a autovalores distintos.” O conteúdo é autovalores e autovetores de uma transformação linear ou de uma matriz.
Passo 2
Lembrando a teoria, sabemos que autovetores associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes. Porém, o recíproco—isto é, autovetores linearmente independentes necessariamente terem autovalores diferentes—não é garantido. Em particular, se um autovalor tiver multiplicidade geométrica maior que
, podemos escolher dois autovetores independentes que correspondem ao mesmo autovalor.
Passo 3
Contra-exemplo simples: seja a matriz identidade em
,
Quase todo vetor em
é autovetor de
com autovalor
. Por exemplo,
são linearmente independentes e ambos satisfazem
Logo,
e
são autovetores LI que correspondem ao mesmo autovalor
.]
Passo 4
Concluímos que há autovetores LI que partilham o mesmo autovalor, então a afirmação do enunciado é falsa.
Resposta
Falsa.